Question

Consideremos las funciones
f(x)=x^2+bx+1
g(x)=2a(x+b)
Donde las constantes a y b son números reales. Cada par de constante a y b puede considerarse como un punto (a,b) en el plano

Si “S” es el conjunto de los puntos (a,b) para los que la gráfica y=f(x) y y=g(x) no se cortan

Calcular el area de S

Answer 1

Este es un ejercicio de Intersección de curvas, aquí tenemos una parábola y una recta. Para que ambos puntos se corten, deben tener la misma imagen para igual elemento del dominio. En efecto.

$y=x^{2} +bx+1\\y=2ax+2b\\\\x^{2} +bx+1 = 2ax+2ab$

Si se cortan tienen el mismo y para igual x, por lo que el valor de x que resulte de resolver esa ecuación será la abscisa para la cual las curvas se cruzan.

Seguimos:

$x^{2} +bx+1 = 2ax+2ab\\x^{2} + (b-2a)x - 2ab+1 = 0\\\\x=\frac{-(b-2a)+/-\sqrt{(b-2a)^{2}-4.(-2ab+1) } }{2}$

Bien, lo que nosotros queremos es que no existan esos puntos por lo que basta que el radical de la raíz cuadrada sea negativo.

$(b-2a)^{2} -4(-2ab+1) < 0\\b^{2} -4ba+4a^{2} +8ab-4 < 0\\b^{2} +4ba+4a^{2}-4<0\\(b+2a)^{2} < 4$

Aquí hemos resuelto la intersección llegando a esta ecuación. Como hay una raíz cuadrada en juego la inecuación se convierte en esto:

$-2<b+2a<2\\-2-2a<b<2-2a$

Si queremos ver esto en un gráfico, empezamos dibujando las rectas:

$y=-2x+2\\y=-2x-2$

Dos rectas paralelas con pendiente -2. El recinto está comprendido entre estas rectas (en el adjunto están representadas). Con lo que el área solicitada es infinita.