Question

Considere un bloque de madera hexagonal de 58,35g que tiene 5,0 cm de lado y 1,25
cm de espesor, con un agujero de 2,50cm de diámetro perforado en el centro. También se dan las densidades del hexano liquido (d=0,667g/mL) y del decano liquido (d=0,845g/mL). Suponga que la densidad de una mezcla de los dos líquidos es función lineal delporcentaje en volumen de la disolución. Determine el porcentaje en volumen de hexano necesario en la disolución para que el bloque de madera hexagonal empiece a flotar en la disolución.

Answer 1

El porcentaje en volumen de la disolución es 37% de hexano y 63% de decano

El bloque sólido hexagonal puede dividirse en seis bloques más pequeños, siendo cada uno un triángulo equilátero de longitud  L y altura h. El área del triángulo entonces es:

A = ¹/₂ L x h

Para expresar h en función de L, utilizamos el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dibujado, es decir, a² + b² = c², reorganizado de la forma a² = c² - b²

h² = L² - (¹/₂L)² = L² - ¹/₄L² = ³/₄L²

h =$\frac{\sqrt{3} }{2} L$

Ahora, para el área de cada uno de los triángulos tenemos:

A = ¹/₂ L x $\frac{\sqrt{3} }{2} L$

A = $\frac{\sqrt{3} }{4} L^{2}$

Considerando el espesor del bloque, y que está formado por 6 triángulos, expresamos la fórmula para el volumen

V = $6 * \frac{\sqrt{3} }{4} L^{2} * 1.25 cm$

v = $6 * \frac{\sqrt{3} }{4} (5 cm)^{2} * 1.25 cm$

v = 81 cm³

El volumen del agujero cilindrico de radio 1.25 cm (la mitad del diámetro de 2.50 cm) y una altura de 1.25 cm es

V = π r² h

v = 3.1416 * (1.25 cm)² * 1.25

v = 6.14 cm³

Por tanto, el volumen del bloque es 74.9 cm³

v = 81 cm³ - 6.14 cm³

v = 74.9 cm³

Ahora, ya teniendo el volumen del bloque, consideramos la fórmula de la densidad

densidad = masa / volumen

d = 58.5 g / 74.9 cm³

d = 0.779 g/cm³ = 0.779 g/mL

La fórmula general para una relación lineal (línea recta) es

y = mx + b

donde:

y = densidad de la disolución

x = fracción del hexano (porcentaje en volumen/100)

Sustituyendo la densidad del decano puro en la ecuación, se observa que para x =0; b = 0.845

y = mx + b

0.845 = (m*0) + b

b = 0.845

Ahora, utilizando la densidad del hexano puro d =0.667, y los valores x = 1.00 y b = 0.845, se obtiene el valor de m

y = mx + b

0.667 = (m *1) + 0.845

m = 0.667-0.845

m = -0.178

La etapa final es encontrar el valor de x para una disolución que tiene la misma densidad que la madera: 0.779 g/mL.

y = mx + b

0.779 = -0.178x + 0.845

-0.178x = 0.779 - 0.845

-0.178x = - 0.066

x = -0.066 / -0.178

x = 0.37 = 37%

Por tanto, el porcentaje en volumen de la disolución es 37% de hexano y 63% de decano