Question

Considere la precipitación en aire a 294.3K y 101.325 kPa, de gotas pequeñas de aceite de 180 µm de diámetro. La densidad del aceite es 850 kg/m3. La cámara de precipitación tiene 0.7 m de altura. Calcule la velocidad terminal de precipitación. ¿Cuánto tiempo se requerirá para la precipitación de estas partículas? (Sugerencia: Si el número de Reynolds es superior a aproximadamente 100, no se pueden usar las ecuaciones ni la correlación de resistencia al flujo para esferas rígidas).

Answer 1

Las gotas de aceite en aire se precipitan a una velocidad final límite de 0,6 metros por segundo tardando en precipitar unos 1,17 segundos.

Explicación:

Antes de elegir qué procedimiento utilizaremos vamos a hallar el número de Reynolds para las gotas de aceite de 180um de diámetro:

$Re=\frac{\rho_f\rho_e gD^3}{18\eta^2}$

Donde D es el diámetro de la partícula, ρ las densidades y η la viscosidad del medio. Reemplazando valores:

$\eta=1,8x10^{-5}Pa s\\\rho_f=1,2\frac{kg}{m^3}\\\rho_e=850\frac{kg}{m^3}\\D=1,8x10^{-4}m\\\\Re=\frac{1,2.850.9,8.(1,8x10^{-4})^3}{18(1,8x10^{-5})^2}=10$

El número de Reynolds es 10 con lo que no podemos utilizar la fórmula de Stokes. Pero sí se puede considerar las gotas de aceite como esferas rígidas. La fuerza de rozamiento con el aire es:

$F_r=C_D\frac{1}{2}\rho_fAv^2$

Donde CD es el coeficiente de arrastre, rho la viscosidad del medio, A el área transversal de la partícula y v su velocidad en relación al fluido. Aplicando segunda ley de Newton tengo:

$mg-F_r=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}\\\\\frac{d^2x}{dt^2}=g-\frac{F_r}{m}=g-C_D\frac{1}{2m}\rho_fAv^2\\\\A=\frac{\pi D^2}{4}; m=\rho_e.V=\rho_e.\frac{4}{3}\pi \frac{1}{8}D^3\\\\\frac{dv}{dt}=g-\frac{3C_D\rho_f}{4\rho_e D}v^2$

En un momento la velocidad de la partícula alcanza un valor constante, esto ocurre cuando la aceleración se anula:

$0=g-\frac{3C_D\rho_f}{4\rho_e D}v^2\\\\v=\sqrt{\frac{4g\rho_eD}{3C_D\rho_f}}$

El coeficiente CD se puede aproximar como:

$C_D=\sqrt[0,52]{(\frac{24}{Re})^{0,52}+0,32^{0,52}} =4,63$

Reemplazando valores en la expresión de velocidad tenemos:

$g=9,8\frac{m}{s^2}\\\rho_e=850\frac{kg}{m^3}\\D=1,8x10^{-4}m\\C_D=4,63\\\rho_f=1,2\frac{kg}{m^3}\\\\v=\sqrt{\frac{4.9,8.850.1,8x10^{-4}}{3.4,63.1,2}}=0,6\frac{m}{s}$

Si bien sabemos que las gotas alcanzan gradualmente esa velocidad podemos considerar que esta se alcanza lo bastante rápido para aproximar el movimiento a uno de velocidad constante y el tiempo de precipitación queda:

$t=\frac{z}{v}=\frac{0,7m}{0,6\frac{m}{s}}=1,17s$