Question

Considere el predicado p(x): 2 sin^2(x)=1-cos(x) y xE [0,pi] la suma de los elementos de Ap(x) es:

Answer 1

Sumando las soluciones, tenemos 0 + 2π/3 = 2π/3

Hay que considerar la siguiente identidad,

$sin^2(x)=1-cos^2(x)$

Sustituyéndola en la ecuación, tenemos:

$2(1-cos^2(x)) = 2-2cos^2(x) = 1-cos(x)\\1-2cos^2(x)=-cos(x)\\-2cos^2(x) +cos(x) +1 = 0$

Sustituyendo u = cos(x) y haciendo uso de la ecuación resolvente

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Obtenemos

$-2cos^(x) +cos(x) +1= 0\\-2u^2 +u +1 = 0\\\\u = \frac{-1 \pm\sqrt{1-4(-2)(1)}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{-4}\\\\u = \frac{-1 \pm 3}{-4} = \frac{-1+3}{-4} = \frac{2}{-4} = -1/2, \frac{-1-3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1\\\\u = 1, -1/2\\cos(x) = 1 => x= 0\\cos(x) = -1/2 => x  = \pi/2 + \pi/6 = 2\pi/3$

Sumando las soluciones, tenemos 0 + 2π/3 = 2π/3