Question

Considerar Z=(2,−1,5) P=(1,−3,1)Q=(1,−2,2) y R=(4,1,−1). La distancia de Z al plano que pasa por P, Q y R es:

Answer 1

RESOLUCIÓN.

1) Se determina el plano formado por los puntos P, Q yR.

Se forman los vectores PQ y PR

PQ = Q - P = (1, -2, 2) - (1, -3, 1) = (0, 1, 1)

PR = R - P = (4, 1, -1) - (1, -3, 1) = (3, 4, -2)

Se realiza el producto vectorial entre los vectores PQ y PR para encontrar normal del plano buscado:

PQ x PR = N = (0, 1, 1) x (3, 4, -2)

N = (-6, 3, -3)

La ecuación del pleno tendría la siguiente forma:

-6X + 3Y - 3Z + D =0

Se sustituye el punto P para obtener el valor de D:

-6(1) + 3(-3) - 3(1) + D = 0

D = 18

Finalmente la ecuación del plano formado por los puntos P, Q y R es:

-6X + 3Y - 3Z + 18 = 0

2) Determinar la distancia entre el punto Z y el plano.

La ecuación de distancia entre un punto y un plano es:

D = |A*Zx + B*Zy + C*Zz + D| / |N|

A = -6

B = 3

C = -3

D = 18

Zx = 2

Zy = -1

Zz = 5

|N| = √(-6)^2 + (3)^2 + (-3)^2 = 3√6

Sustituyendo se tiene que:

D = |-6(2) + 3(-1) - 3(5) + 18| / 3√6

D = 1,633

La distancia entre el punto Z y el plano formado por los puntos P, Q, R es de 1,633 unidades.