Considerando las siguientes ecuaciones, determina la ecuación canónica de la elipse, estableciendo las coordenadas del centro, vertices, focos, longitudes de los lados rectos el valor de la excentricidad; así como la representación gráfica
A) 9x²+ 4y²- 36x- 8y+ 4=0
B) x²+ 4y²- 6x+ 16y+ 21=0
C) 16x²+ 4y²+ 32x+ 16y- 32=0
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Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) 92 + 42 − 36 − 8 + 4 = 0
(92 − 36) + (42 − 8) = −4
9(2 − 4) + 4(2 − 2) = −4
9(2 − 4 + 4) + 4(2 − 2 + 1) = −4 + 36 + 4
9( − 2)2 + 4( − 1)2 = 36
9(−2)2
36 + 4(−1)2
36 = 36
36
(−3)2
4 + (−1)2
9 = 1
Elipse de lado mayor paralelo al eje y
= 3
= 2
= √2 − 2 ; = √32 − 22 ; = √5
Centro: (ℎ, ) ; (3,1)
Vértices: (ℎ, + ) ; (3,4)
(ℎ, − ) ; (3, −2)
Focos: (ℎ, + ) ; (3,2 + √5)
(ℎ, − ) ; (3,2 − √5)
Excentricidad =
; = √5
3
12. Si el eje mayor es paralelo al eje Y (vertical) su ecuación canónica es (−ℎ)2
2 + (−)2
2 = 1
Con el valor de la excentricidad concluimos que = 4 = 5
Por lo tanto = √2 − 2 ; = √52 − 42 ; = 3
Ecuación de la elipse
(−3)
9
2
+ (−3)2
25 = 1
b) 2 + 42 − 6 + 16 + 21 = 0
(2 − 6) + (42 + 16) = −21 Agrupando los términos según X o Y
(2 − 6) + 4(2 + 4) = −21 Factor comun numérico
(2 − 6 + 9) + 4(2 + 4 + 4) = −21 + 9 + 16 Completando los trinomios
( − 3)2 + 4( + 2)2 = 4
(−3)2
4 + 4(+2)2
4 = 4
4
Dividiendo para 4
(−3)2
4 + (+2)2
1 = 1
Elipse de lado mayor paralelo al eje x
= 2 ; = 1 ; = √2 − 2 ; = √22 − 1 ; = √3
Centro: (ℎ, ) ; (3, −2)
Vértices: (ℎ + , ) ; (5, −2)
(ℎ − , ) ; (1, −2)
Focos: (ℎ + , ) ; (5 + √2, −2)
(ℎ − , ) ; (5 − √2, −2)
Excentricidad =
√3
2
Lado recto r = 22
; r = 2(1)2
2 ; r = 2
2 = r = 1
c) 162 + 42 + 32 + 16 − 32 = 0
(162 + 32) + (42 + 16) = 32
16(2 + 2) + 4(2 + 4) = 32
16(2 + 2 + 1) + 4(2 + 4 + 4) = 32 + 16 + 16
16( + 1)2 + 4( + 2)2 = 64
16(+1)2
64
+ 4(+3)2
64 = 64
64
(+1)2
4
+ (+3)2
16
= 1
Elipse de lado mayor paralelo al eje y
= 4
= 2
= √2 − 2
= √42 − 22 ; = √12
Centro: (ℎ, ) ; (−1, −3)
Vértices: (ℎ, + ) ; (−1, +1)
(ℎ, − ) ; (−1, −7)
Focos: (ℎ, + ) ; (−1, −3 + √12)
(ℎ, − ) ; (−1, −3 − √12)
Excentricidad =
; =
√12
4 , =
2√3
4
Lado recto r = 22
; r = 2(2)2
4 ; r = 2