Question

considera un cuadrado de 6'4cm de lado. halla la longitud de la circunferencia:
a) que se inscribe dentro de el.

b)A la que está circunscrito.

Answer 1

Buenas noches, Paula...Fíjate, para el cuadrado que planteas podemos definir lo siguiente: 

A)El radio de la circunferencia inscrita en el, es 3.2cm que sería la mitad de la longitud de un lado.
B) El radio de la circunferencia circunscrita en el, es $\frac{ \sqrt{(6.4)² + (6.4)²}} {2}$ que es equivalente a la longitud de la diagonal del cuadrado entre 2.
¿Como puedes saber esto de inmediato al ver el ejercicio?

A) La circunferencia inscrita siempre debe estar dentro del cuadrado para ser inscrita, así que su diámetro no puede ser mayor al de cualquier lado,así que fijas el diámetro como la longitud del lado del cuadrado y la divides entre 2 para obtener el radio.
B)La circunferencia circunscrita necesita estar en la periferia mas alejada del cuadrado, y no hay puntos mas alejados que 2 vertices opuestos,por lo que si divides diagonalmente el cuadrado se te formaran 2 triangulos rectangulos, de los cuales si le sacas la longitud de la hipotenusaobtendras el diametro de la circunferencia y si lo divides entre 2 obtendrás el radio.
sabemos que una circunferencia de radio 1 tiene una longitud de 2pi radianes.. por lo que a medida que incrementa el radio la longitud crece proporcionalmentecon la siguiente formula L= 2.pi.R ; siendo R, el radio de la circunferencia..
Sabiendo esto nos queda que:
A) Longitud de arco de la Circunferencia circunscrita: L= 2$\pi$3.2cm = 6.4$\pi$cm = 20.10cmB) longitud de arco de la circunferencia circunscrita: L= $\frac{2 \pi 6.4\sqrt{2}}{2}$ cm = 28.43cm