Question

considera las funciones
f(x)= 30.(1/3)^x y g(x) 1/5.4^x

indica ,si es posible, para qué valores de x se cumple que:
1)- f(x)=10. 2)- f(x)=-10.
3)- g(x)=0. 4)- g(x)=1/3

me ayudan por favor ,no se cómo hacer,si me ayudan se los agradecería!!!
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Answer 1

Respuestas y explicación:

Considerando las funciones:

1)  $f\left(x\right)=\:30\cdot \left(1/3\right)^x$

2) $g\left(x\right)\:=1/5\cdot 4^x$

Hallamos :

a) $f\left(x\right)=\:30\cdot \left(1/3\right)^x,\:f\left(-2\right)$

Desarrollamos:

$\mathrm{Para}\:f=30\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x\:\mathrm{sustituir}\:x\:\mathrm{con}\:-2$

$=30\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

Expandir : $30\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=270$

$f(-2)=270$

b) $g\left(x\right)\:=1/5\cdot 4^x,\:g\left(\frac{3}{2}\right)$

Desarrollamos:

$\mathrm{Para}\:g=\frac{1}{5}\cdot \:4^x\:\mathrm{sustituir}\:x\:\mathrm{con}\:\frac{3}{2}$

$=\frac{1}{5}\cdot \:4^{\frac{3}{2}}$

Expandir :$\frac{1}{5}\cdot \:4^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{5}$

$\:g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{8}{5}$

c) Indicamos la posibilidad:

1) $f\left(x\right)=10$

$f\left(x\right)=\:30\cdot \:\left(1/3\right)^x$

$10=\:30\cdot \left(1/3\right)^x$

$\mathrm{Intercambiar\:lados}$

$30\left(\frac{1}{3}\right)^x=10$

$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}30$

$\mathrm{Simplificar}$

$\left(\frac{1}{3}\right)^x=\frac{1}{3}$

$\mathrm{Si\:}a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\mathrm{,\:entonces\:}f\left(x\right)=g\left(x\right)$

$x=1$    → Si es posible ese valor

2) $f\left(x\right)=-10$

$f\left(x\right)=\:30\cdot \:\left(1/3\right)^x$

$-10=\:30\cdot \left(1/3\right)^x$

$\mathrm{Intercambiar\:lados}$

$30\left(\frac{1}{3}\right)^x=-10$

$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}30$

$\frac{30\left(\frac{1}{3}\right)^x}{30}=\frac{-10}{30}$

Simplificar:

$\left(\frac{1}{3}\right)^x=-\frac{1}{3}$

$a^{f\left(x\right)}\mathrm{\:no\:puede\:ser\:cero\:o\:negativo\:para\:}x\in \mathbb{R}$

$\mathrm{Sin\:solucion\:para}\:x\in \mathbb{R}$  → No es posible ese valor

3) $\:g\left(x\right)=0$

$g\left(x\right)\:=1/5\cdot 4^x$

$0=1/5\cdot 4^x$

$\mathrm{Utilizar\:el\:principio\:de\:la\:multiplicacin\:por\:cero:}$

$4^x=0$

$a^{f\left(x\right)}\mathrm{\:no\:puede\:ser\:cero\:o\:negativo\:para\:}x\in \mathbb{R}$

$\mathrm{Sin\:solucio\\n\:para}\:x\in \mathbb{R}$  → No es posible ese valor

4) $g\left(x\right)=\frac{1}{3}$

$g\left(x\right)\:=1/5\cdot 4^x$

$\frac{1}{3}=1/5\cdot 4^x$

$\mathrm{Intercambiar\:lados}$

$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:}5$

$5\cdot \frac{1}{5}4^x=\frac{1\cdot \:5}{3}$

Simplificar:

$4^x=\frac{5}{3}$

$\mathrm{Si\:}f\left(x\right)=g\left(x\right)\mathrm{,\:entonces\:}\ln \left(f\left(x\right)\right)=\ln \left(g\left(x\right)\right)$

Entonces:

$\ln \left(4^x\right)=\ln \left(\frac{5}{3}\right)$

$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(x^b\right)=b\cdot \log _a\left(x\right)$

$\ln \left(4^x\right)=x\ln \left(4\right)$

$x\ln \left(4\right)=\ln \left(\frac{5}{3}\right)$

Simplificar :

$x\cdot \:2\ln \left(2\right)=\ln \left(\frac{5}{3}\right)$

$\mathrm{Dividir\:ambos\:lados\:entre\:}2\ln \left(2\right)$

$\frac{x\cdot \:2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}=\frac{\ln \left(\frac{5}{3}\right)}{2\ln \left(2\right)}$

$\mathrm{Simplificar}$

$x=\frac{\ln \left(\frac{5}{3}\right)}{2\ln \left(2\right)}$

$\left(\mathrm{Decimal}:\quad x=0.36848\dots \right)$  → Si es posible ese valor