considera la funcion f(x)= ax+8\bx+6
Respuestas a la pregunta
1 DERIVADA DE UNA FUNCION. Sea y = f (x) , una función definida en cada
punto del intervalo abierto I. Decimos que f (x) es diferenciable (o derivable) en un
punto x de I si existe
lim f(x + h) - f(x)
h+O h
dy df En este caso, dicho límite se designa por - , f '(x) , - (x) o Dx f (x) , y se llama la
dx dx
derivada de f (x) en e2 punto x. Por definición se tiene entonces que
- dy = df ft(x) = =(x) = Dxf(x) = lirn f (x + h) - f (x)
h+O h
Si la derivada f '(x) existe para cada x de 1, la función f '(x) se llama la derivada de
la función f (x) ; y decimos que f (x) es diferenciable en todo el intervalo I.
El valor de la derivada de y en el punto a se suele denotar con
8.2 REGLA PARA CALCULAR LA DERIVADA EN UN PUNTO.
De la definición f '(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim f (x + ~x) - f (x) , donde Ax = h,
h-+O h AX-O AX
podemos extraer la siguiente regla para calcular la derivada de f (x) en el punto x.
Paso 1. Se suma a la variable x un incremento Ax # O, y se calcula el valor f (x + AX) .
Paso 2. Se forma el incremento Ay de la función correspondiente al incremento Ax
de la variable x, es decir, se calcula la diferencia Ay = f (x + AX) - f (x).
Paso 3. Se divide ambos miembros entre el incremento de la variable x
AY Paso 4. Se calcula lim - . &-+O Ax
Por definición, el límite resultante es f '(x) , la derivada de f (x) en x.
EJEMPLO. Hallar la derivada de y = 3x2 + x - 5 en el punto x.
SOLUCION. Escribimos f (x) = 3x2 + x - 5 .
AY dY Pasod. lim - = 6x+1. Luego -=6x+1.
Ax-O Ax dX
8.3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. Recta tangente a una
curva.
La derivada f '(x) puede ser interpretada como la pendiente de la recta tangente a la
curva y = f (x) en el punto (x, f (x)). En efecto, consideremos un punto P = (x, f (x))
de la grzifica de y = f (x) .
Derivación y Funciones Elementales 201
Para un incremento Ax se obtiene el punto Q = (x + Ax, f (x + AX)) de la gráfica de la
curva, y la recta secante S que pasa por P y Q tiene pendiente
Fijemos el punto P y hagamos que Ax tienda hacia cero. Entonces el punto Q se
aproxima al punto P y la recta secante Sp gira al rededor del punto P. Si esta recta
secante Sg tiende a una posición limite T, entonces consideramos a la recta T como la
recta tangente a la curva en el punto P.
Ahora bien, puesto que el punto P y la pendiente mq determinan completamente a la
recta secante Sy para que ésta se aproxime a una posición limite, y ya que P esta
fijo, bastará que exista
AY lim m, = lixn - = f '(x),
L\x-+O Ax+O AX
y tomar este número como la pendiente de T.
Con esta discusión procedemos a dar las siguientes definiciones.
Dada la función y = f (x) , llamamos recta tangente a la curva y = f (x) en x, ( o a la
gráfica de f (x) en el punto (xl, f(xl)) a la recta T que cumple las dos condiciones
siguientes:
T pasa Por (~19 f (~1)) 9
Y T tiene pendiente f '(x, ) .
Es decir, T es la recta cuya ecuación es T : Y-f(~l) = ft(Xl)*
X-X1
Se llama recta normal a la curva y = f (x) en xl ( o a la gráfica de f (x) en el punto
(x,, f(x,)) a la recta N que cumple las dos condiciones siguientes:
N pasa Por (x,, f(x1)) 9
y N es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto (xl, f (x,)) .
1
Es decir, N tiene pendiente - - y su ecuación es
f '(~1)