Question

Considera el siguiente trapecio y calcula:
a) El lado “c” del trapecio
b) El ángulo “ω”

Answer 1

Ejercicios de cuadriláteros

Tenemos ahí un trapecio con dos lados oblícuos no iguales.

Nos pide el lado "c" y el ángulo "ω" que están a la derecha de la figura pero hemos de empezar usando los datos que tenemos a la izquierda, es decir, el lado "a" = 35,43  y el ángulo en el vértice A de 76º.

Al trazar la altura del trapecio desde el vértice superior en esa parte izquierda, se nos forma un triángulo rectángulo donde conocemos uno de los ángulos agudos (76º) y la hipotenusa = 35,43

Hemos de calcular la altura (cateto opuesto al ángulo conocido) y el segmento AE que es el cateto adyacente a dicho ángulo.

Usando la función seno, hallaré el valor de la altura ya que relaciona el cateto opuesto (esa altura) con la hipotenusa. Para ello obtengo el valor del seno de 76º usando la calculadora y me dice que es  0,97

sen 76º = cat. opuesto (altura) / hipotenusa

0,97 = altura / 35,43

altura = 0,97 × 35,43 = 34,37

Conocida la altura, usaré la función coseno para hallar el valor del segmento AE que es el cateto adyacente. De nuevo recurro a la calculadora que me dice que el coseno de 76º = 0,24

0,24 = cat. adyacente (AE) / 35,43

Segmento AE = 0,24 × 35,43 = 8,57

Estos valores los iré anotando en rojo en el dibujo adjunto copiado del tuyo y ampliado con más datos.

Fíjate ahora con los datos obtenidos que el segmento de la base mayor que queda entre las dos alturas EF es igual a la base menor:  40,74

Si sumamos este segmento y el que acabamos de calcular AE que mide 8,57 y el resultado lo restamos de la medida de la base mayor, obtenemos la medida del segmento FB.

80,13 - (40,74 + 8,57) = 30,82

Con ese dato ya tenemos los dos catetos del triángulo rectángulo FBC formado a la derecha y con ellos podemos aplicar la función tangente que relaciona ambos catetos para calcular ese valor y luego mediante la función inversa de la calculadora saber a qué ángulo pertenece.

tan ω = cat. opuesto / cat. adyacente = 34,37 / 30,82 = 1,115

Con la función inversa sé que ese valor de la tangente corresponde a un ángulo  ω = 48,18º  (respuesta al apartado b)

El lado "c" puede hallarse por trigonometría usando seno o coseno del ángulo ω pero también podemos calcularlo por Pitágoras puesto que conocemos los dos catetos y el lado "c" es la hipotenusa.

$H=\sqrt{C^2+c^2} =\sqrt{34,37^2+30,82^2} =\sqrt{1181,2969+949,8724} =\\ \\ \sqrt{2131,1693} =46,16$

El lado "c" mide 46,16  (respuesta al apartado a)

Saludos.