Conjetura. ¿Verdadero o Falso?
I. Las áreas de un cubo y de un prisma formados por la misma cantidad de cubitos
semejantes, son iguales. ( )
II. Los volúmenes de un cubo y de un prisma formados por la misma cantidad de
cubitos semejantes, son iguales. ( )
Respuestas a la pregunta
La primera conjetura es Falsa, las áreas del cubo y del prisma son diferentes, la segunda conjetura es verdadera los volumenes si son iguales.
Un cubo: es un poliedro formado por 6 caras cuadradas
EL área de un cubo: es igual al área de una de las caras por 6, si tenemos un cubo de lado "x": como cada área tiene un cuadrado entonces la área de cada cara es el cuadrado de su lado entonces el área del cubo es:
A = 6*x²
El área de un prisma: es igual a un poliedro irregular que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases y caras laterales y rectángulares o cuadrángulares
El área de un prisma: es igual a el doble del área de la base más área lateral que sera el perimetro de la base por la altura
A = Ab + Pb*h
Veamos el cubo y el prisma de las figuras, vemos que tenemos que cada uno esta formado por la misma cantidad de cubitos
Si el lado de cada cubito mide 1 metro
Entonces el área del cubo es igual a:
A = 6*(1m)² = 6m²
El área del prima es igual a:
Ab = 1 m*1m = 1m²
Pb = 4*1m = 4m
h = 8 m
A = 2*(1 m²) + 4m*8m = 2 m² + 32 m² = 34 m²
Con este contrajemplo vemos que las áreas son diferentes y por lo tanto la conjetura es FALSA
II. El volumen: si sera el mismo pues el volumen es la cantidad de espacio que ocupa y como esta formado por la misma cantidad de cubitos entonces ocuparan el mismo volumen
La conjetura I es falsa y la conjetura II es verdadera.
- Conjetura I
El área de una cara de un cubo vienen dado por el cuadrado de sus lados
A = L^2
Para obtener un cubo a partir de cubos mas pequeños se requieren por lo menos de 8 cubitos, por lo tanto cada cara del cubo grande tendrá 4 caras de cubitos, por lo tanto
Área cubo grande = 6*4*L^2
Área cubo grande = 24L^2
Un prisma de 8 cubitos esta formado por 34 caras de cubos pequeños
Área prisma = 34L^2
Por lo tanto la primera conjetura es falsa
- Conjetura II
En este caso como se trata del volumen y amabas figuras están formado por la misma cantidad de cubitos los cuales tienen la mismas medidas, los volúmenes serán iguales, por lo tanto la conjetura es verdadera
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