Con una lámina cuadrada de aluminio de 12 pulgadas por lado, se requiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo?, ¿Cuánto mide dicho volumen máximo?
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RESPUESTA:
Tenemos que plantear el volumen de una paralelepípedo, para ello tenemos que:
V = base · altura · ancho
Entonces, sabemos que la base es cuadrada, y se cortará trozos de longitud 'x', entonces:
V = (12-2x)·(12-2x)·x
Simplificamos y tenemos que:
V = (144 - 48x + 4x²)·x
V = 144x - 48x² + 4x³
Necesitamos que el volumen sea máximo, por tanto derivamos respecto a x, tenemos:
dV/dx = 144 - 96x + 12x²
Igualamos a cero para encontrar los puntos máximos, tenemos:
144 - 96x + 12x² = 0
- x₁ = 6
- x₂ = 2
Debemos escojer el menor, porque el mayor produce una incongruencia.
Entonces, tenemos que:
- Altura = 2 in
- Ancho = 12 - 4 = 8 in
- Largo = 12 - 4 = 8 in
Entonces, el volumen total será:
V = (2in)·(8in)·(8in)
V = 128 in³
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