Question

CON SUMA URGENCIA, NECESITO LA SOLUCION DE ESTE PROBLEMA. GRACIAS

Sean dados 4 números en progresión aritmética, tal que aumentados en 2, 4, 8 y 15 respectivamente pasan a constituir una progresión geométrica. Determinar los números.

Answer 1

Hola, puedo ayudarte a razonarlo según mi lógica y apoyado en la definición de progresiones aritméticas y geométricas.

Se me plantea un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas pero soy incapaz de resolverlo. Te lo explico por si te da alguna idea:

Una prog. aritmética es una sucesión de términos relacionados entre ellos por el hecho de que cada término se calcula a partir de sumar o restar un número fijo llamado "diferencia" que yo abreviaré con "d"

Una prog. geométrica es básicamente lo mismo que la aritmética pero con la variante de que cada término se halla a partir de multiplicar o dividir el anterior por un número fíjo llamado "razón" que yo abreviaré con "r".

Fijándonos pues en la primera parte del enunciado, dice que tenemos 4 números en prog. aritmética. Yo puedo representar esos números de este modo:

1º) x
2º) x+d
3º) (x+d)+d = x+2d
4º) (x+2d)+d = x+3d

Fijándonos en la 2ª parte tenemos que se convierten en prog. geométrica al añadirles respectivamente esas cifras. Por tanto tendremos que los números que forman la prog. geométrica serán:
1º) x+2 (el primero de la p. aritmética más la cifra que se añade)
2º) (x+d)+4 (el segundo de la p. aritmética más la cifra que se añade)
3º) (x+2d)+8 (el tercero de la p. aritmética más la cifra que se añade)
4º) (x+3d)+15 (el cuarto de la p. aritmética más la cifra que se añade)

Ahora sólo hay que ir relacionándolos entre ellos según la definición de progresión geométrica, es decir que...

(x+2)·r = x+d+4
... que significa que si yo multiplico el primer número de la geométrica por la razón "r" me resultará el segundo número de la geométrica, ok?  y de ahí puedo despejar "r"...

r = (x+d+4) / (x+2)

Del mismo modo puedo actuar con los demás números de la geométrica...
(x+2+4)·r = x+2r+8 ... y despejando "r"...
r = (x+2r+8) / (x+2+4)

(x+2r+8)·r = x+3r+15 ...y despejando "r"...
r = (x+3r+15) / (x+2r+8)

Tenemos pues, tres despejes de "r" que podemos igualar formando el sistema que te comenté:

1ª ecuación:
(x+d+4) / (x+2) = (x+2r+8) / (x+2+4)

2ª ecuación:
(x+2r+8) / (x+2+4) = (x+3r+15) / (x+2r+8)

Y hasta ahí he llegado porque al intentar resolverlo no soy capaz. Quizá no sea la forma de obtener la solución (o sí que lo sea pero mis conocimientos de álgebra no me permiten la resolución de ese sistema) pero creo que el razonamiento es correcto.

Saludos.