Question

Con respecto a las raíces del polinomio p(x) = x3-7x m; m∈R se sabe que una raíz es positiva e igual al doble de otra. Halle la suma de los cubos de todas las raíces de este polinomio. A. -24 B. -18 C. -21 D. -9 E. -15

Answer 1

La suma de los cubos de las raíces de p(x) es -18

Para poder resolver este problema, primero debemos hallar las raíces de este polinomio y esto se logra de la siguiente manera

Como p(x) tiene tres raíces, entonces se puede escribir de la siguiente manera

p(x) = (x - a)(x - b)(x - c)

Pero c = 2a, pues una de sus raíces es el doble de la otra. Entonces p es

p(x) = (x - a)(x - 2a)(x - b). Si resolvemos este producto notable, tenemos

p(x) = (x² - 3ax + 2a²)(x - b) = ( x³ -bx² ) + ( -3ax² + 3abx ) + ( 2a²x -2a²b )

p(x) = x³ - ( 3a + b )x² + ( 2a² + 3ab )x - 2a²b

Ahora bien, esto debe ser igual a x³ -7x + m, pero dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales uno a uno, es decir

x³ - ( 3a + b )x² + ( 2a² + 3ab )x - 2a²b = x³ -7x + m

- ( 3a + b )x² + ( 2a² + 3ab )x - 2a²b = -7x + m

-( 3a + b ) = 0 ⇒ 3a + b = 0 ⇒ b = -3a

2a² + 3ab = -7 ⇒ 2a² + 3a(-3a) = -7 ⇒-7a² = -7 ⇒ a² = 1 ⇒ a = 1

b = -3a = -3(1) = -3

m = -2a²b = -2(1)(-3) = 6

Por lo tanto, las raíces del polinomio p son a = 1, b = -3 y c = 2. Concluyendo que la suma de sus cubos es

1³ + 2³ + (-3)³ = 1 + 8 - 27 = -18