Question

¿Con qué fuerza horizontal F debe apartarse una polea pequeña (B en la figura), de modo que la sección BC del cable sea vertical, si se cuelga una carga P de la polea y se forma en la sección AB del cable un ángulo de 60 ° con la horizontal AC?

Answer 1

Respuesta:

$\boxed{F = \dfrac{P}{2}\cot(60^\circ)}$

Explicación:

Para resolver este ejercicio utilizaremos las dos condiciones de equilibrio de un cuerpo. Antes de comenzar, vamos a enunciarlas de manera breve.

Primera condición de equilibrio:

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula:  ∑ F = 0.

Desde el punto de vista matemático se tiene que cumplir que la suma aritmética de las componentes de fuerza que están el la dirección positiva del eje X sea igual a las componentes de las que están en la dirección negativa. De forma análoga, la suma aritmética de las componentes que están en la dirección positiva del eje Y tiene que ser igual a las componentes que se encuentran en la dirección negativa:

$\sum F_x = 0\\\sum F_y=0$

Segunda condición de equilibrio:

Por otro lado, diremos que un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma de todas las fuerzas que se ejercen en él respecto a cualquier punto es nula. O dicho de otro modo, cuando la suma de los momentos de torsión es cero, esto es:

$\sum \tau =0$

   

RESOLUCIÓN

Para comenzar a resolver el problema, vamos a construir su DLC y su diagrama de rotación como se adjunta en la figura. Una vez construido planteamos las condiciones enunciadas anteriormente. Por simplicidad y por conveniencia del ejercicio, comencemos por la segunda condición de equilibrio.

$\sum \tau =0\\T_{2y}R-T_1 R=0\\\boxed{T_1=T_{2y}}$

Planteamos la primera condición de equilibrio en y como:

$\sum F_y = 0\\T_{2y}+T_1-P=0 \text{ \;\;\;\;\; Se tiene que T_1=T_{2y} }\\T_{2y}+T_{2y}-P=0\\2T_{2y}=P\\2T_{2}\sin60^\circ=P\\\boxed{T_2=\dfrac{P}{2\sin60^\circ} }$

Finalmente planteamos la primera condición de equilibrio en x como:

$F - T_{2x}=0\\\\F=T_{2x}\\\\F = T_2 \cos60^\circ\\ \\F = \dfrac{P\cos60^\circ}{2\sin 60^\circ}\\\\ \boxed{F = \dfrac{P}{2}\cot(60^\circ) }$