Question

Con procedimiento si no no sirve, porfa es urgente si no estoy perdida 1) Calcula la distancia de los puntos A (2,3) B (5,7) 2) Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento A( 2,3) y B (6,7) ANGULO ENTRE RECTAS 3) Calcula el ángulo interior A del triángulo formado por los vértices A(2,3), B(7,4), C(4,7) RECTA 4) Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(-2,-3) B(5,1) 5) Hallar la distancia del punto A(2,1) a la recta 2x – y + 5 = 0

Answer 1

1) Para la distancia entre dos puntos es la siguiente formula:

$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2}+ (y_{2} - y_{1})^{2} }$

Los puntos que tenemos son (2,3) y (5,7)

$x_{1} = 2\\y_{1} = 3\\x_{2} = 5\\y_{2} = 7$

Sustituimos valores en la formula.

$d = \sqrt{(5-2)^{2}+(7-3)^{2} } \\d = \sqrt{3^{2} + 4^{2} } \\d =\sqrt{25} \\d= 5$

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2) Para el punto medio se usa la siguiente formula.

$x = \frac{x_{1} + x_{2} }{2}\\\\\\y = \frac{y_{1} + y_{2} }{2}$

Los puntos que tenemos so (2,3) y (6,7)

$x_{1} = 2\\y_{1} = 3\\x_{2} = 6\\y_{2} = 7$

Sustituimos valores en la formula.

$x = \frac{2+6}{2}\\x = \frac{8}{2} \\x= 4\\\\y = \frac{3+7 }{2}\\y = \frac{10}{2} \\y =5$

Las coordenadas del punto medio entre los 2 puntos (4,5)

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3) Para este ejercicio necesitamos el ángulo entre 2 rectas. Las rectas vendrían siendo del punto A(2,3) al punto B(7,4) y del punto A(2,3) al punto C(4,7).

Tendremos que sacar la pendiente de las 2 rectas. Primero de la recta AB.

$x_{1} = 2\\y_{1} = 3\\x_{2} = 7\\y_{2} = 4$

$m_{1} = \frac{y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} }\\\\m_{1} = \frac{4 - 3}{7-2} \\\\m_{1} = \frac{1}{5}$

Ahora la pendiente de la recta AC.

$x_{1} = 2\\y_{1} = 3\\x_{2} = 4\\y_{2} = 7$

$m_{2} = \frac{y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} }\\\\m_{2} = \frac{7 -3}{4-2} \\\\m_{2} = \frac{4}{2}\\\\m_{2} = 2$

Ya que tenemos las 2 pendientes de las 2 rectas, ahora sacaremos el ángulo que hay entre estas mediante la siguiente formula:

$\alpha = tan^{-1} (\frac{m_{1} - m_{2} }{1 + (m_{1} )(m_{2})} )$

Reemplazamos valores.

$\alpha = tan^{-1} (\frac{\frac{1}{5}-2 }{1+(\frac{1}{5})(2)} )\\\\\alpha = tan^{-1} (\frac{-\frac{9}{5} }{\frac{7}{5}})\\\\ \alpha = tan^{-1}( -\frac{45}{35} )\\\\\alpha = - 0.90$

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4) Si tenemos 2 puntos debemos seguir con esta ecuación:

$y-y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } (x - x_{1} )$

Los puntos son (-2, -3) y (5,1)

$x_{1} = -2\\y_{1} = -3\\x_{2} = 5\\y_{2} = 1$

Reemplazamos valores en la formula

$y-(-3) = \frac{1 - (-3) }{5 - (-2) } (x - (-2) )\\\\y+3 = \frac{1 +3 }{5 +2 } (x +2 )\\\\y+3 = \frac{4 }{7} (x +2 )$

La ecuación general de la recta sigue el siguiente orden:

$Ax + By + C =0$

Entonces tenemos que realizar los despejes necesarios para colocarlos de esa forma.

$y+3 = \frac{4 }{7} (x +2 )\\7(y + 3) = 4(x+2)\\7y + 21 = 4x + 8\\4x -7y +8 -21 = 0\\4x -7y -13 = 0$

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5) La formula para la distancia entre un punto a una recta es:

$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^{2}+ B^{2} } }$

Siendo A, B y C los coeficientes que acompañan a la ecuación de la recta, por lo tanto, x & y son las coordenadas del punto.

$A = 2\\B = -1\\C = 5\\x = 2\\y = 1$

Simplemente reemplazamos valores.

$d = \frac{|2(2) - 1(1) + 5|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} } }\\d = \frac{8}{\sqrt{5} } \\\\d = 3.57$