Question

con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4,4, ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
a) 1356
b) 235
c) 1260
d) ninguna de las anteriores (si eliges esta opción justifica el porque). Este problema se resuelve con permutación u otro tipo de operación?​

Answer 1

COMBINATORIA.

Permutaciones con repetición

Cuando nos dan una cantidad de elementos y uno o varios de ellos están repetidos hemos de recurrir a la fórmula por factoriales de lo que llamamos:

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE "n" ELEMENTOS

con la particularidad de que el primer elemento se repite "a" veces, el segundo elemento se repite "b" veces, el tercer elemento se repite "c" veces.

Esta definición la aplicamos a este ejercicio donde:

• El primer elemento es 2 y se repite 3 veces
• El segundo elemento es 3 y se repite 4 veces
• El tercer elemento es 4 y se repite 2 veces

La fórmula para este caso es la siguiente:

$PR_n ^{a,b,c} =\dfrac{P_n}{a!*b!*c!}$

Sustituyendo los datos:

$PR_9 ^{3,4,2} =\dfrac{P_9}{3!*4!*2!} =\dfrac{9*8*7*6*5*4*3*2*1}{3*2*1*4*3*2*1*2*1} =\\ \\ \\ =\dfrac{9*8*7*6*5}{3*2*2} =\dfrac{15120}{12} =1260$

Respuesta: 1.260 números  ... opción c)

Saludos.

Answer 2

La permutación con repetición es la operación que se debe realizar a continuación ¿en qué consiste?

A través de esta operación tomamos un total de elementos, bien sea letras o números al que denominaremos "n", luego tomaremos cada numero repetido y lo simplificaremos las veces que se repitan; ejemplo: "a" las veces que se repita, "b" las veces que se repita y "c" también las veces que se repita, vamos a describirlo de la siguiente manera:

n!=a!b!c!

Ahora bien, utilicemos el ejemplo del problema:

2,2,2,3,3,3,3,4,4= n será el numero total que existe en la cifra, sumamos todos los números o elementos y nos queda n=9.

Ahora, ¿Cuántas "a" tenemos si la reemplazamos por el primer elemento, es decir "2"? si, tenemos tres números "2". Queda de la siguiente manera (2=3).

Reemplacemos a la letra "b", queda (3=4) ya que el elemento "3" es quien nos va a representar la letra "b".

Por ultimo, reemplazamos a la letra o elemento "c" quedando (4=2):

Tenemos la siguiente operación:

  9!=3!4!2!

Ahora, debemos colocar en decreciente el total de la cifra, es decir, si tenemos 9 anotaremos (9*8*7*6*5*4*3*2*1) como numerador.

El denominador serian los elementos también en decreciente, es decir, "a" que es igual a 3! quedaría 3*2*1; luego "b" quedaría 4*3*2*1 y por ultimo tendríamos a "c" que se expresaría como 2*1.

Operación total del problema planteado en la actividad:

P!n

a;b;c

P!9=            (9*8*7*6*5*4*3*2*1)

3;4;2            3*2*1*4*3*2*1*2*1

P!9=       362880

3;4;2           288

P!9=  1260

3;4;2

La opción a elegir es la c) ya que como vemos en el resultado del problema nos queda la cifra de 1260. (Formula adjunta en la imagen)

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