Con el fin de que el patrón de interferencia entre ondas emitidas por dos fuentes de luz se pueda observar, ¿qué característica esencial deben tener las ondas emitidas por las fuentes?
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Movimiento ondulatorio
Interferencia
Interferencia de ondas producidas por dos fuentes
Una de las características esenciales del movimiento ondulatorio es el fenómeno de la interferencia. Hemos estudiado en la página titulada Descripción de la propagación la superposición de dos pulsos. En esta página, se describirá la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas en el plano que contiene las fuentes y el punto de observación.

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular ω, y que emiten ondas armónicas.
Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular ω .
Ψ1=A1·sin(kr1-ωt)
Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular ω.
Ψ2=A2·sin(kr2-ωt)
Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase.
En fase o interferencia constructiva.

Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de 2π .Teniendo en cuenta que k=2π /λ
kr2-kr1 =2nπ r2-r1 =nλ
La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2
En oposición de fase o interferencia destructiva.

Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de π .Teniendo en cuenta que k=2π /λ
kr2-kr1 =(2n+1)π r2-r1 =(n+½)λ
La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.
Amplitud resultante

En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante.
A=√A21+A22+2A1A2cos(kr2−kr1)A=A12+A22+2A1A2cos(kr2−kr1)
La amplitud es máxima A=A1+A2 cuando kr2-kr1=2nπ
La amplitud es mínima A=A1-A2 cuando kr2-kr1=(2n+1)π
Si la separación d de las fuentes S1 y S2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r1 y r2 y suponer que las amplitudes A1 y A2 son prácticamente iguales.
A=2A1cosk(r2−r1)2A=2A1cosk(r2−r1)2
Máximos y mínimos de intensidad

En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.

En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.
Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya ecuación y=f(x) vamos a determinar

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r2-r1=Δ.
r2 es la distancia de la fuente S2 al punto P y r1 es la distancia de la fuente S1 al punto P.
Δ=2nπ, si la interferencia es constructiva (máximo de intensidad)
Δ=(2n+1)π/2, si la interferencia es destructiva (mínimo de intensidad)
Si las coordenadas del punto P son (x, y), y (0, ±d/2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r2-r1=Δ. es
√x2+(y+d2)2=Δ+√x2+(y−d2)2x2+(y+d2)2=Δ+x2+(y−d2)2
Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada
2yd−Δ2=2Δ√x2+(y−d2)22yd−Δ2=2Δx2+(y−d2)2

Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos
4y2Δ2−4x2d2−Δ2=14y2Δ2−4x2d2−Δ2=1
que es la ecuación de una hipérbola
Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola
y=±Δ2√1+4x2d2−Δ2y=±Δ21+4x2d2−Δ2
El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0
El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2,
El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ
El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2
y así, sucesivamente.
La hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes.

Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola
yx=Δ2√1x2+4d2−Δ2yx=Δ21x2+4d2−Δ2
La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞
tanθ=limx→∞(yx)=Δ2limx→∞√