Con base en los datos de la siguiente figura, halla el valor de x. Considera que el lado AB es igual al lado PD y el lado AP es igual al lado CD.
Respuestas a la pregunta
La medida del ángulo x es de 55°,
Explicación paso a paso:
Si las longitudes de los lados de la figura son AB=PD y AP=CD, y en los dos triángulos tanto los lados AB y AP como los lados CD y PD forman un ángulo de 70°, los triángulos ABP y PCD son congruentes por el caso LAL.
Entonces tenemos PB=PC y el triángulo BPC es isósceles, y los ángulos x y PBC son congruentes.
Además tenemos las congruencias de ángulos APB=DCP y ABP=DPC.
En el cuadrilátero ABCD tenemos:
BAP+ABC+BCD+CDP=70°+ABC+BCD+70°=140°+ABC+BCD=360°.
ABC+BCD=360°-140°
ABC+BCD=220°.
ABP+PBC+x+DCP=220°
PBC=x
ABP+DCP+2x=220°.
Y además, en el punto P tenemos la siguiente igualdad:
APB+BPC+DPC=180°
Aplicando el teorema de los ángulos internos al triángulo BPC y sabiendo que PBC=x tenemos:
2x+BPC=180°.
Igualando las dos últimas ecuaciones tenemos:
APB+BPC+DPC=2x+BPC
APB+DPC=2x.
Pasamos en limpio y queda:
ABP+DCP+2x=220°
APB+DPC=2x.
Pero como es ABP=DPC y DCP=APB queda, sumando miembro a miembro:
ABP+DCP=APB+DPC=2x
Y en la primera ecuación queda:
2x+2x=220°
4x=220°
x=55°.