Completa la tabla 5 7. 10 15 18 22 29 31 216 264 ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad?
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Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
17 Ejemplo (AHSME 1994) Márquese a un disco con la etiqueta “1”, a dos discos con la etiqueta “2”, a tres discos con la
etiqueta “3”, . . . , a cincuenta discos con la etiqueta ‘‘50”. Póngase a estos 1 + 2 + 3 + ···+ 50 = 1275 discos en una caja. Se
sacan luego discos de la caja, al azar y sin remplazo. ¿Cuál es el número mínimo de discos que se debe sacar para garantizar al
menos diez discos con la misma etiqueta?
◮Resolución: Si se saca todos los 1+2+···+9 = 45 discos con etiquetas “1”, . . . , “9” y cualquiera nueve discos con etiquetas “10”, . . . , “50”, se habrá sacado 45+9 · 41 = 414 discos. El 415-avo disco sacado garantizará
que haya al menos diez discos con la misma etiqueta. ◭
18 Ejemplo Dado cualquier subconjunto A de diez enteros del conjunto {1,2,...,98,99} demuéstrese que siempre habrá dos
subconjuntos disjuntos de A cuyos elementos tienen la misma suma.
◮Resolución: Hay 2
10 − 1 = 1023 subconjuntos no nulos que se pueden formar con un conjunto de diez elementos. A cada uno de estos subconjuntos le asociamos su suma. La máxima suma que puede ser obtenible es
90+91+···+99 = 945 < 1023. Luego, hay dos subconjuntos, digamos S,T (no necesariamente disjuntos) cuya
suma de elementos es idéntica. Luego, S \ (S∩T) y T \ (S∩T) también tienen suma idéntica de elementos. ◭
19 Ejemplo Dados cualesquiera 9 enteros cuyos factores primos yagan en el conjunto {3,7,11}, demuéstrese que habrá dos
cuyo producto es un cuadrado perfecto.
◮Resolución: Para que un entero sea un cuadrado, todos los exponentes de los primos de su factorización en
primos deben ser pares. Todo entero cuyos factores yagan en el conjunto dado es de la forma 3
a
7
b
11c
. Los tríos
(a,b,c) yacen en exactamente uno de los 8 patrones de paridad (par, par, par), (par, par, non), (par, non, par), (par,
non, non), (non, par, par), (non, par, non), (non, non, par), (non, non, non). En un grupo de nueve tales enteros,
habrá pues dos cuyo patrón de paridad sea idéntico. Luego el producto de estos dos enteros es un cuadrado, ya
que la suma de cada exponente será par. ◭
Tarea
20 Problema Si se toman n + 1 enteros del conjunto {1,2,...,2n}, demuéstrese que
siempre habrá dos que son relativamente primos.
21 Problema Si se toman n + 1 enteros del conjunto {1,2,...,2n}, demuéstrese que
siempre habrá dos tales que el menor dividirá (sin dejar residuo) al mayor.
22 Problema Pruebe que entre n + 1 enteros, siempre habrá dos cuya diferencia será
divisible por n.
23 Problema (AHSME 1991) Una mesa circular tiene exactamente sesenta sillas en
torno. Hay N personas ya sentadas de manera que la próxima persona a sentarse por
fuerza se sentará al lado de alguien. ¿Cuál es el valor mínimo de N?
24 Problema Cinco puntos cualesquiera son colocados sobre un cuadrado de lado 1.
Demuéstrese que dos de ellos están a una distancia de a lo sumo √
2/2.
1.3 Paridad
25 Ejemplo Dos esquinas diametralmente opuestas son cortadas de un tablero de ajedrez, que como se recordará, tiene 64
casillas. Demuéstrese que es imposible recubrir totalmente a las 62 casillas restantes de 31 dominós.
◮Resolución: Cada dominó cubre cuadrados de diferente color. Al eliminar dos casillas diametralmente opuestas, se eliminan dos casillas del mismo color. Por lo tanto quedan 32 casillas de un color y 30 de otras y luego los
31 dominós no las pueden cubrir a todas. ◭
26 Ejemplo Los 28 dominós de un juego se enfilan observando las reglas del dominó. Si al principio de la cadena se observa
un 6 ¿qué entero se observará al final de la cadena?