completa la derivada de cada función
1.f(x) =
f'(x) = ![\frac{....}{(3x^{2}+1 )^{2} } \frac{....}{(3x^{2}+1 )^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B....%7D%7B%283x%5E%7B2%7D%2B1+%29%5E%7B2%7D+%7D)
2. g(x)=
g'(x) = ![\frac{2}{(....)^{2} } \frac{2}{(....)^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B%28....%29%5E%7B2%7D+%7D)
3. h(x) =
h'(x) =
Respuestas a la pregunta
Derivada de una función
La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio. Para realizar estas derivada se consideran las siguientes teorema:
Teorema (Reglas de derivación). Sean f, g : I → R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones:
i) La funciones suma, f + g, y producto, fg, son derivables en todo punto a ∈ I en el que f y g sean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a); (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a)
ii) Si g(x) ≠ 0 para todo x ∈ I, la función cociente f/g es derivable en todo punto a ∈ I en el que f y g sean derivables, en cuyo caso se verifica que:
(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f(a)'g(a)-f(a)g(a)' }{(g(a))^2}
iii) derivada de la raíz 'n' de una variable de grado 'p'
Sea f(x)=\sqrt[n]{x^{p} } entonces su derivada es:
f'(x)=\frac{p*x^{p-1} }{n*\sqrt[n]{(x^p)^n-1} }
Resolviendo las derivadas
1.) f(x)=\frac{1}{3x^2+1}
Aplicando el segundo teorema de las derivadas
f'(x)=\frac{(0)*(3x^2+1)-(1)*(6x)}{(3x^2+1)^2} =\frac{-6x}{(3x^2+1)^2}
f'(x)=\frac{-6x}{(3x^2+1)^2}
2.) g(x)=\frac{x-1}{x+1}
g'(x)=\frac{(1)*(x+1)-(x-1)*(1)}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}
g'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}
3.) h(x) = \sqrt[5]{(2x^{2}-3x)^{3} }
Aplicando el tercer teorema de las derivadas
h'(x)=\frac{3(2x^2-3x)^{3-1}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{5-1}} }=\frac{3(2x^2-3x)^{2}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{4}} }
h'(x)= \frac{3(2x^2-3x)^{2}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{4}} }
Hay que estar atento a todos los teoremas de las derivada que puede ayudar a resolver los problemas planteados. Existen muchos mas a parte de los tres mencionados, sobre cuando es función que involucra una raíz, también esta el siguiente caso:
Derivada de una raíz n de una funcion
f(x)=\sqrt[n]{w}
Su derivada es:
f'(x)=\frac{w'}{n*\sqrt[n]{w^{n-1}} }