Question

completa la derivada de cada función

1.f(x) = $\frac{1}{3x^{2} + 1 }$ f'(x) = $\frac{....}{(3x^{2}+1 )^{2} }$


2. g(x)= $\frac{x-1}{x+1}$ g'(x) = $\frac{2}{(....)^{2} }$


3. h(x) = $\sqrt[5]{(2x^{2}-3x)^{3} }$ h'(x) = $\frac{.....}{....\sqrt[5]{(2x^{2}-3x)^{3} } }$

Answer 1

Derivada de una función

La derivada de una función puede  interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón  “instantánea” de cambio. Para realizar estas derivada se consideran las siguientes teorema:

Teorema (Reglas de derivación). Sean f, g : I → R dos funciones. Se verifican las siguientes  afirmaciones:

i) La funciones suma, f + g, y producto, fg, son derivables en todo punto a ∈ I en el que  f y g sean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);                           (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a)

ii) Si g(x) ≠ 0 para todo x ∈ I, la función cociente f/g es derivable en todo punto a ∈ I  en el que f y g sean derivables, en cuyo caso se verifica que:

(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f(a)'g(a)-f(a)g(a)' }{(g(a))^2}

iii) derivada de la raíz 'n' de una variable de grado 'p'

Sea f(x)=\sqrt[n]{x^{p} } entonces su derivada es:

f'(x)=\frac{p*x^{p-1} }{n*\sqrt[n]{(x^p)^n-1} }

Resolviendo las derivadas

1.) f(x)=\frac{1}{3x^2+1}

Aplicando el segundo teorema de las derivadas

f'(x)=\frac{(0)*(3x^2+1)-(1)*(6x)}{(3x^2+1)^2} =\frac{-6x}{(3x^2+1)^2}

f'(x)=\frac{-6x}{(3x^2+1)^2}

2.) g(x)=\frac{x-1}{x+1}

g'(x)=\frac{(1)*(x+1)-(x-1)*(1)}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}

g'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}

3.) h(x) = \sqrt[5]{(2x^{2}-3x)^{3}  }

Aplicando el tercer teorema de las derivadas

h'(x)=\frac{3(2x^2-3x)^{3-1}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{5-1}} }=\frac{3(2x^2-3x)^{2}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{4}} }

h'(x)= \frac{3(2x^2-3x)^{2}}{5*\sqrt[5]{((2x^2-3x)^3)^{4}} }

Hay que estar atento a todos los teoremas de las derivada que puede ayudar a resolver los problemas planteados. Existen muchos mas a parte de los tres mencionados, sobre cuando es función que involucra una raíz, también esta el siguiente caso:

Derivada de una raíz n de una funcion

f(x)=\sqrt[n]{w}

Su derivada es:

f'(x)=\frac{w'}{n*\sqrt[n]{w^{n-1}} }