Question

COMPLEJOS ayuda con demostrar esto


sabiendo $|Z| =1$ demostrar que:


$\frac{|Z+W|}{|Z'W+1|}=1$

Answer 1

Respuesta:

$\frac{|Z+W|}{|Z'W+1|}=\frac{|Z+W|}{|Z'W+ZZ'|}=\frac{|Z+W|}{|Z'(W+Z)|}=\frac{|Z+W|}{|Z'||W+Z|}=\frac{|Z+W|}{|Z'||Z+W|}=\frac{1}{|Z'|}=\frac{1}{1}=1$



Explicación paso a paso:

Esto se demuestra a través de propiedades de los complejos las cualés puedes verificarla buscando en cualquier bibliografía.

las propiedades que usaremos serán

dado $V$ y $U$ números  complejos se conocen estas propiedades.

propiedad 1: $|V| = |V'|$. El módulo de un complejo es igual al módulo de su conjugado.

propiedad 2:  $|V*U| = |V| * |U|$ El módulo del producto de complejos es el producto de sus módulos.

sabiendo esto empezemos:

• si $|Z|=1$ por propiedad 1 sabemos que $|Z'| = 1$
• por propiedad 2 $|Z||Z'| = |ZZ'| = |1||1|=|1*1|=|1|$ es decir |Z'Z|=1

además como el módulo de un complejo es $\sqrt{a^{2}+b^{2} } }$ siendo a y b numeros reales, donde a representa la parte real de un complejo y b la imaginaria. para que $|Z|=1$  $Z$ tiene que tener la forma de $Z=1+0i=1$ o $Z=0+i=i$.  

podemos plantear que $Z=1+0i=1$ y como el $Z'$ conjugado de un complejo es el complejo $Z$ parte real pero parte imaginaria opuesta

podemos llegar a decir que $Z'=1-0i=1$ por lo que podemos concluir algo importante que $Z = 1$ y $Z'=1$ por lo que $ZZ'=1*1=1$

ahora teniendo todo esto podemos empezar a resolver.

1. sabiendo que $ZZ'=1$ podemos ir a $\frac{|Z+W|}{|Z'W+1|}$reemplazar a 1 por $ZZ'$algo matematicamente válido quedando $\frac{|Z+W|}{|Z'W+ZZ'|}$
2. De $\frac{|Z+W|}{|Z'W+ZZ'|}$ podemos sacar en el denominador factor común $Z'$ y nos queda que $\frac{|Z+W|}{|Z'(W+Z)|}$.
3. Aplicando a $\frac{|Z+W|}{|Z'(W+Z)|}$ la propiedad 2 en el denominador podemos llegar a: $\frac{|Z+W|}{|Z'||W+Z|}$
4. Por propiedad conmutativa de la suma $Z+W=W+Z$ por lo que si aplicamos esto en el $|W+Z|$ llegamos a  $|Z+W|$ por los que nos quedaría que $\frac{|Z+W|}{|Z'||Z+W|}$
5. Ahora tenemos $|Z+W|$ en el numerador y $|Z+W|$ (como producto) en el denominador por lo que podemos simplificar quedando $\frac{1}{|Z'|}$
6. Como sabemos que $|Z|=1$ y como dije antes por propiedad 1 $|Z'|=1$ podemos reemplazar $|Z'|$ por 1 quedando que $\frac{1}{1}=1$ que es a lo que queríamos llegar.

Answer 2

Respuesta:

Adrikba me la pela, el de arriba esta en lo cierto