Matemáticas, pregunta formulada por Ani1895, hace 1 año

Comparación por límite
(n)/(5n^2 + 3)

Respuestas a la pregunta

Contestado por mary24457181ozqyux
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El criterio de comparación por limite, sirve para determinar si una serie numérica dada es convergente o divergente. 

El criterio consiste en que si el límite de una función dada por dos series an y bn tal que f(x)=\frac {an} {bn} , si el límite de la función es entero y positivo, entonces podemos concluir que ambas series convergen o divergen. 

De esta manera si por ejemplo conocemos que an diverge, entonces podemos aplicar el metodo de comparacion por limite para saber si bn converge o diverge. 

Lo primero que haremos es buscar si sospechamos que la serie converge o diverge. 

\sum \frac {n} {5 n^{2} + 3}   

Podemos notar que esta serie se parece mucho a: 

\sum \frac {n} { n^{2}}

Pues al sacar factor común 1/5 queda muy similar solo nos quedaria un 3/5 sumando a la n de abajo. 

\frac {1} {5} \sum \frac {n} {n^{2} + \frac {3} {5} }

y como sabemos que  \sum \frac {n} { n^{2}} diverge, podemos usarlo para comparar con el comportamiento de la serie que queremos analizar.

Entonces vamos a realizar la comparación de nuestra serie con \sum \frac {n} { n^{2}}

Entonces vamos a calcular el límite de la función: 

 \lim_{n \to \infty} \frac { \frac {n} {5 n^{2} + 3}} {\frac {n} { n^{2}}}

Aplicando doble c :

 \lim_{n \to \infty} \frac { n^{2} } {5 n^{2} + 3}

Como el polinomio del númerador es de igual grado que el polinomio del denominador, entonces el límite va a ser la división entre los factores que multiplican a los terminos de mayor grado en ambos polinomios en este caso: 

L=\frac {1} {5}

Como  \frac {1} {5} es un número POSITIVO y FINITO, y sabemos que \frac {n} { n^{2}} DIVERGE, entonces podemos concluir que  \frac {n} {5 n^{2} + 3}   también DIVERGE

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