como simplificar radicales
Respuestas a la pregunta
damos las condiciones convenidas para que un radical esté simplificado
Radical simplificado:
1. El radicando sin ningún factor con exponente mayor o igual al índice de la raíz
2. Un radicando sin fracciones.
3. El denominador sin radicales
4. El índice el más pequeño posible entre todas las expresiones equivalentes.
Debes tener presente que una forma radical no está simplificado si tiene el mismo índice y radicando que otro radical no simplificado. Así los √88 y 4√994 no están simplificados, pues tienen el mismo índice y radicando que √2323 y 4√32324 respectivamente.
Ejemplos de radicales no simplificados

Claro, hay radicales no simplificados que no cumplen más de una condición, pero por ahora veamos cómo llevar radicales con esta situación a radicales simplificados.
Raíces exactas
Si n√aan es un número real, se tiene quen√an=aann=apues cumple con la definición de la raíz de un número. Esto lo podemos extender a potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz.
Asuma que n√aan es un número real, se tiene que aplicando la propiedad de potencia de una potencia y luego la raíz de una potencia que
n√an⋅man⋅mn =n√(an)m=(an)mn
=(n√(an)m=am=((ann)m=am
Así, de una vez, si n√aan es un número real, tenemos quen√an⋅m=aman⋅mn=am
Esta propiedad ahorra mucho trabajo para simplificar radicales.
Ejemplo
Simplificar 3√2122123
Solución
Podemos aplicar el resultado anterior porque el exponente es múltiplo del índice de la raíz.

Propiedad de la raíz de un producto para simplificar
Si el radicando está escrito en su descomposición de números primos, lo primero es expresar cada exponente como una suma de múltiplos del índice más un número menor al índice. Luego, descomponer cada potencia como un producto, asociar las potencias con exponentes menores al índice para finalmente aplicar la propiedad de la raíz de un producto y simplificar los radicales.
Ejemplos


Decimos que hemos eliminado todos los factores posibles del radicando. Abajo te explicamos otras formas de proceder.
Decimos que √3232 y 3√54543 no están simplificados porque el radicando contiene un cuadrado perfecto
Método rápido para simplificar radicales sencillos
Para raíces cuadradas y cúbicas, cuando sea fácil, se busca al tanteo cuadrados y cubos perfectos, respectivamente en el radicando.
Ejemplos
Simplificar √3232 y 3√54543.
Solución

Para expresar un exponente como una suma de un múltiplo del índice más un número menor al índice podemos usar la dición del exponente entre el índice.
Exponente = ( Cociente ) x ( Indice ) +( Resto )
Ejercicio resuelto paso por paso
Simplificar
4√26⋅327⋅71226⋅327⋅7124

Suponga tenemos un radical en que el coeficiente numérico del radicando no está factorizado como producto de primos y queremos verificar si el radical está simplificado. Un procedimiento para verificar y simplificar, en caso que se requiera, empezaría por factorizar la parte numérica como producto de sus factores primos.
Ejemplo
Simplificar 3√604860483
Solución
Expresar el radicando como producto de sus factores primos.
Expresar los exponentes mayores al índice como una suma
Expresar las potencias como productos
Asociar potencias con exponentes menores al índice.
Aplicar la propiedad de la raíz de un producto.
Simplificar
Propiedad de la raíz de un cociente para simplificar
De acuerdo al ejercicio, puede encontrar factorización rápidas en que aparezca factores comunes. Entonces cancelar y considerar simplificar la fracción resultante.

Racionalizar el denominador para simplificar radicales
La cuarta condición expuesta para que un radical esté simplificado es que si hay un denominador, éste no contenga radicales. Para remover los radicales del denominador tenemos que racionalizar el mismo. Esto se hace multiplicando numerador y denominador por la expresión racionalizadora. En nuestro caso es un radical con las mismas potencias del denominador y exponentes los que completen el siguiente múltiplo del índice de la raíz. También el radicando lo podemos visualizar, encontrando el factor que complete la potencia perfecta: el cuadrado perfecto en el caso de raìces cuadradas, cubo perfecto en el caso de raíces cúbicas,...

Propiedad de la raíz de una raíz para que el índice sea lo más pequeño posible