Question

como se resuelve ∫X^2√(1-X)

Answer 1

Tienes la siguiente integral,

$\int\limits{ \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1-x} } } \, dx$

podemos considerar una sustitución del tipo

$u=1-x$

de una vez podemos despejar equis de ésta sustitución de repente la necesitemos, entonces $x=1-u$

ahora sí, derivamos la sustitución original, es decir

$du=-dx$
despejamos el diferencial de equis,

$dx=-du$

entonces la integral nos va a quedar

$\int\limits{ \frac{ x^{2} }{ \sqrt{u} } } \, \left( -du \right)$

pero ya sabems el valor de equis entonces reemplazamos,

$-\int\limits{ \frac{ (1-u)^{2} }{ \sqrt{u} } } \, du$

y luego realizamos las operaciones necesarias por ejemplo desarrollar ese binomio al cuadrado,

$-\int\limits{ \frac{ (1-u)^{2} }{ \sqrt{u} } } \, du=-\int\limits{ \frac{ 1-2u+u^{2} }{ \sqrt{u} } } \, du$

ahora, dsitribuimos el denominador a cada término del numerador,

$-\int\limits{ \frac{ 1-2u+u^{2} }{ \sqrt{u} } } \, du=-\int\limits{\left( \frac{ 1}{ \sqrt{u} }- \frac{2u}{ \sqrt{u} } + \frac{ u^{2} }{ \sqrt{u} }\right) } \, du$

haciendo uso del álgebra: ley de exponentes, entonces...

$-\int\limits{\left( \frac{ 1}{ \sqrt{u} }- \frac{2u}{ \sqrt{u} } + \frac{ u^{2} }{ \sqrt{u} }\right) } \, du=-\int\limits{\left( \frac{ 1}{ \sqrt{u} }- 2 \sqrt{u} + u^{ \frac{3}{2} } \right) } \, du$

y ésto ya es mucho más fácil de integrar, hazlo¡¡...