Question

¿Como se resuelve esto?

Answer 1

Se sabe de la fórmula de Moivre lo que sigue:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x=\text{cis }x$

por ello se cumple $\text{cis }x\cdot\text{cis }y=e^{ix}\cdot e^{iy}=e^{(x+y)i}=\text{cis }(x+y)$

Ahora vamos la expresión

$E=\dfrac{8\text{cis }40\°\cdot 2\text{cis }50\°}{4\text{cis }15\°(-3\sqrt2+3i\sqrt2)}\\ \\ \\E=\dfrac{4\text{cis }40\°\cdot \text{cis }50\°}{\text{cis }15\°(-3\sqrt2+3i\sqrt2)}\\ \\ \\E=\dfrac{4\text{cis }90\°}{3\text{cis }15\°(-\sqrt2+i\sqrt2)}\\ \\ \\E=\dfrac{4\text{cis }90\°}{6\text{cis }15\°\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)}$

$E=\dfrac{2\text{cis }90\°}{3\text{cis }15\°\cdot \text{cis }135\°}\\ \\ \\ E=\dfrac{2\text{cis }90\°}{3\text{cis }150\°}\\ \\ \\ E=\dfrac{2}{3}\text{cis }(90\°-150\°)\\ \\ \\ E=\dfrac{2}{3}\text{cis }(-60)\\ \\ \\ E=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)\\ \\ \\ \boxed{E=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt3}{3}i}$