Question

¿Cómo se resuelve este tipo de ejercicio ? Agradeceria mucho si me explicaran
Investigue si es posible encontrar la ecuación general de una esfera que tiene su centro a 2/3 del camino de P a Q y pasa por el punto R P. es el punto que se encuentra en el eje x positivo a √21 unidades del punto (0,4,1) Q es el punto ubicado en el plano xy, 3 unidades detrás del plano yz, una unidad a la izquierda del plano xz. R es el punto medio entre los puntos (3,2,1) (-1,-2,-3)

Answer 1

La ecuación de la esfera que cumple con todas las condiciones es $(x+\frac{4}{3})^2+(y+\frac{2}{3})^2+z^2=\frac{62}{9}$.

¿Cómo hallar el centro de la esfera?

Si el punto P está sobre el eje x, sus coordenadas serán (x,0,0). Con la distancia entre este y el punto (0,4,1) podemos hallar su ubicación:

$\sqrt{(0-x)^2+(4-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{21}\\\\\sqrt{x^2+16+1}=\sqrt{21}\\\\x^2+17=21\\\\x=2, x=-2$

Como P está sobre el eje X positivo, sus coordenadas son P(2,0,0). Ahora, si el punto Q está en el plano xy, sus coordenadas son (x,y,0). Si está 3 unidades detrás del plano yz, tenemos x=-3, y si está una unidad a la izquierda del plano xz tenemos y=-1. Sus coordenadas son Q(-3,-1,0).

La recta que pasa por los puntos P y Q tiene vector director (-3-2,-1-0,0-0)=(-5,-1,0). Su ecuación vectorial es:

$(x,y,z)=(2,0,0)+\lambda(-5,-1,0)$

Con $\lambda=1$ tenemos el punto Q, por lo que un punto a 2/3 del camino entre P y Q es el siguiente:

$(x,y,z)=(2,0,0)+\frac{2}{3}(-5,-1,0)=(-\frac{4}{3},-\frac{2}{3},0)$

¿Cómo hallar la ecuación de la esfera?

Ahora que tenemos las coordenadas del centro, la ecuación de la esfera tendrá la siguiente forma:

$(x+\frac{4}{3})^2+(y+\frac{2}{3})^2+z^2=r^2$

Nos falta el radio, el cual obtendremos sabiendo que el punto R pertenece a la superficie. Si es el punto medio entre los puntos (3,2,1) y (-1,-2,-3), podemos hallar una recta entre esos puntos:

v=(-1-3,-2-2,-3-1)=(-4,-4,-4).

La recta que pasa por esos dos puntos es $(x,y,z)=(3,2,1)+\lambda(-4,-4,-4)$

Con $\lambda =1$ tenemos el punto medio con $\lambda=\frac{1}{2}$:

$(x,y,z)=(3,2,1)+\frac{1}{2}(-4,-4,-4)=(1,0-1)$

Reemplazando estas coordenadas en la ecuación de la esfera podemos hallar su radio:

$(1+\frac{4}{3})^2+(0+\frac{2}{3})^2+(-1)^2=r^2\\\\(\frac{7}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+1=r^2\\\\\frac{49}{9}+\frac{4}{9}+1=r^2\\\\r^2=\frac{62}{9}$

Y la ecuación de la esfera es:

$(x+\frac{4}{3})^2+(y+\frac{2}{3})^2+z^2=\frac{62}{9}$

Aprende más sobre la ecuación de la esfera en https://brainly.lat/tarea/10000729

#SPJ1