Question

¿Como se puede encontrar el area de la region en rojo usando integrales iteradas?

Answer 1

Explicación paso a paso:

Hola! para realizar la formulación de las Integrales Iteradas, se hace uso del teorema de Fubini. Simplemente se trata de las "regiones", y dependen del orden de los diferenciales (dydx o dxdy) Para ello, observa que el área sombreada está delimitada por la recta horizontal y=3 y la recta vertical x=8.

Si usamos región tipo 1 (dydx), la integral quedaría así:

$A=\int\limits^8_0 {\int\limits^3_0 {} \, dy } \, dx$

La solución sería así:

$A=\int\limits^8_0 {\int\limits^3_0 {} \, dy } \, dx\\\\A=\int\limits^8_0 {y| \limits^3_0} \, dx\\\\A=\int\limits^8_0 {(3-0)} \, dx\\\\A=3\int\limits^8_0 {} \, dx\\\\A=3(x|\limits^8_0)\\\\A=3(8-0)\\\\A=24\ u^2$

Es decir, el área es de 24 unidades cuadradas.

Si usamos región tipo 2 (dxdy), la integral quedaría así:

$A=\int\limits^3_0 {\int\limits^8_0 {} \, dx } \, dy$

La solución sería así:

$A=\int\limits^3_0 {\int\limits^8_0 {} \, dx } \, dy\\\\A=\int\limits^3_0 {x|\limits^8_0} \, dy\\\\A=\int\limits^3_0 {(8-0)} \, dy \\\\A=8\int\limits^3_0 {} \, dy\\\\A=8(y|\limits^3_0)\\\\A=8(3-0)\\\\A=24\ u^2$

El resultado también es 24 unidades cuadradas.

Espero haberte explicado. Básicamente, depende que tipo de región quieras usar, cada una de fórmula de manera diferente, pero ambas deben dar el mismo resultado. Mucho éxito!