Question

como se hace el lim tendiendo a infinito de la raiz cuadrada de x^2+3x - la raiz cuadrada de x-2​

Answer 1

tenemos el límite:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} +3x} -\sqrt{x-2}$

como tenemos dos raíces cuadradas, que no nos dejan saber el mayor exponente, racionalizamos:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} +3x} -\sqrt{x-2}(\frac{ \sqrt{x^{2} +3x} + \sqrt{x-2}}{ \sqrt{x^{2} +3x} +\sqrt{x-2}} )$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} +3x})^{2} -(\sqrt{x-2})^{2}}{\sqrt{x^{2} +3x} +\sqrt{x-2}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} +3x-(x-2)}{\sqrt{x^{2} +3x} +\sqrt{x-2}} \\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} +3x-x+2}{\sqrt{x^{2} +3x} +\sqrt{x-2}}\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} +2x+2}{\sqrt{x^{2} +3x} +\sqrt{x-2}}$

Ahora sabemos que el exponente mayor es el de x², entonces, dividimos todo entre x²:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } }{\frac{\sqrt{x^{2} +3x} }{x^{2} } +\frac{\sqrt{x-2} }{x^{2} } }$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } }{\sqrt{ \frac{x^{2} +3x }{x^{4} }} +\sqrt{ \frac{x-2 }{x^{4} } }}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{2x}{x^{2} } +\frac{2}{x^{2} } }{\sqrt{ \frac{x^{2} }{x^{4} }}+\sqrt{\frac{3x}{x^{4} }} +\sqrt{ \frac{x}{x^{4} } }-\sqrt{\frac{2}{x^{4} } } }$

Resolvemos todas las divisiones:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 +\frac{2}{x } +\frac{2}{x^{2} } }{\sqrt{ \frac{1 }{x^{2} }}+\sqrt{\frac{3}{x^{3} }} +\sqrt{ \frac{1}{x^{3} } }-\sqrt{\frac{2}{x^{4} } } }$

Ya que las tenemos resueltas, recordamos que en los límites que tienden a infinito, toda fracción que tiene una "x" abajo equivale a "0" (justo aquí se empieza a resolver el límite):

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 +\frac{2}{x } +\frac{2}{x^{2} } }{\sqrt{ \frac{1 }{x^{2} }}+\sqrt{\frac{3}{x^{3} }} +\sqrt{ \frac{1}{x^{3} } }-\sqrt{\frac{2}{x^{4} } } }=$

$\frac{1+0+0}{\sqrt{0}+\sqrt{0}+\sqrt{0}-\sqrt{0} }$

Resolvemos las operaciones:

$\frac{1+0+0}{\sqrt{0}+\sqrt{0}+\sqrt{0}-\sqrt{0}}=$

$\frac{1}{0+0+0-0}=\\\\\frac{1}{0}$

Como el resultado nos da con un "0" en el denominador, el límite es ∞

Así que:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} +3x} -\sqrt{x-2}=\infty$