Cómo se determina la unión entre dos conjuntos
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
se determina asi: escribe los elementos de los dos conjuntos sin escribir el mismo objeto si esta repetido.
Explicación paso a paso:
Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.
Respuesta:
Propiedades
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
De la definición de unión puede deducirse directamente:
Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
{\displaystyle A\cup A=A}{\displaystyle A\cup A=A}
Tanto A como B son subconjuntos de su unión:
{\displaystyle A,B\subseteq A\cup B}{\displaystyle A,B\subseteq A\cup B}
La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:
{\displaystyle B\subseteq A\rightarrow A\cup B=A}{\displaystyle B\subseteq A\rightarrow A\cup B=A}
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :
{\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}{\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}
Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}A\cup B=B\cup A
Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:
{\displaystyle A\cup \varnothing =A}{\displaystyle A\cup \varnothing =A}
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.
En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
A ∩ (A ∪ B) = A
Cardinalidad
Artículos principales: Principio de la suma y Principio de inclusión-exclusión.
El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si no tienen elementos en común.
Si A y B son finitos y disjuntos:
{\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}{\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}
Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:
{1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y no seis.
Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de A ∪ B:
Dados dos conjuntos finitos A y B :
{\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|}{\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|}
Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos. Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:
{\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|}{\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|}
y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión:
Dada una colección finita de conjuntos A1, ..., An :
{\displaystyle |A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}|=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\ \ldots \ +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}|}{\displaystyle |A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}|=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\ \ldots \ +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}|}
En el caso de que alguno de los conjuntos involucrados sea infinito, las expresiones anteriores siguen siendo válidas, entendiéndolas como afirmaciones relativas a cardinales infinitos (con ciertas modificaciones).
Axioma de la unión
Artículo principal: Axioma de unión
En teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir de propiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamado axioma de unión
Explicación paso a paso: