como se desarrollaria sen(2a + 2a) en funcion de sen a
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
n las fórmulas de la suma de dos ángulos hacemos a=b o a=b, para obtener:
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena=
=cos2a-sen2a
sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
Ejercicio.-Halla las razones trigonométricas del ángulo 120º. Solución
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Sabemos que cos2x = cos2x-sen2x = 2cos2x -1 = 1-sen2x y despejando el sen2x y el cos2x, obtenemos:
cos2x= 1+cos(2x)
2
y
sen2x= 1-cos(2x)
2
Si hacemos 2x=t, tendremos:
y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.
Análogamente:
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dos anteriores:
Ejemplo 1 Calcula la tg(15o)
Solución.- Como 15o pertenece al primer cuadrante su signo será +.
Ejercicio.- Halla las razones trigonométricas de 22º 30'. Solución
Transformaciones de sumas y diferencias en productos
A veces en la resolución de ecuaciones e incluso en la integración de funciones trigonométricas conviene transformar las sumas en productos o los productos en sumas.
Consideramos \sen A±\sen B y vamos a transformarlo en un producto, para ello hacemos
A
=
a+b
B
=
a-b
sistema que tiene por solución A=[(a+b)/2] y B=[(a-b)/2] (basta sumar y restar las ecuaciones para obtener la solución).
sen A+sen B=sen (a+b) = senacosb+senbcosa
sen A -sen B=sen (a-b) = senacosb-senbcosa
sumando y restando las dos ecuaciones, se obtiene:
sen (a+b)+sen (a-b)
=
senacosb+senbcosa+ senacosb-senbcosa =
=
2 sen acosb
sen (a+b)-sen (a-b)
=
senacosb+senbcosa- senacosb+senbcosa =
=
2 sen bcosa
Porcedemos de forma análoga para obtener la suma y diferencia de cosenos:
cosA+cosB
=
cos(a+b)+cos(a-b) =
=
cosacosb-senasenb+ cosacosb+senasenb=
=
2 cosacosb = 2 cos A+B
2
cos A-B
2
cosA-cosB
=
cos(a+b)-cos(a-b) =
=
cosacosb-senasenb- cosacosb-senasenb=
=
-2 sen asenb = -2 sen A+B
2
sen A-B
2
Resumiendo:
sen A+sen B = 2 sen A+B
2
cos A-B
2
sen A-sen B = 2 sen A-B
2
cos A+B
2
cosA+cosB = 2 cos A+B
2
cos A-B
2
cosA-cosB = -2 sen A+B
2
sen A-B
2
Ejemplo.- Transformar en producto sen 3x + sen x
Solución.-
sen(3x)+sen(x)=2 sen 3x+x
2
cos 3x-x
2
=2 sen 4x
2
cos 2x
2
=2 sen(2x)cos(x)
Ejercicio.- Transformar cos(2x)-cos(6x) en producto. Solución
Explicación paso a paso: