¿Cómo se demuestran "todas" las integrales y derivadas de funciones elementales a través de la suma de Riemann y el uso de límites respectivamente?
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la derivada.
La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Respuesta:
Hola, muy buenas noches!
La pregunta en sí es fascinante, y muy bien planteada, lamento llegar algo tarde al debate.
Primero que nada, podemos demostrar la derivada de prácticamente cualquier función mediante la definición, si embargo hacerlo para cada una mediante la definición es largo y tedioso, por lo que solo debemos averiguar algunas derivadas, y mediante la regla de la cadena podemos averiguar la derivada de casi cualquier función, de sumas, productos, o composiciones de las mismas.
*Nota al margen: Con "Casi cualquier función" me refiero a las funciones elementales, es decir, las algebraicas, trigonometricas, trigonometricas inversas, exponenciales, logarítimicas...
Conclusión: Si, podemos demostrar la derivada de cualquier función elemental mediante el uso de la definición de la derivada como límite. En concreto, necesitamos solo conocer un par de reglas (que devienen de la definición de derivada) junto con las derivadas básicas, para poder conocer la derivada de cualquier función elemental, y sumas, productos o composiciones de las mismas.
Pasando al tema de la suma de Riemann: No, no es tan sencillo demostrar la integral de una función mediante la suma de Riemann. Por empezar, podríamos plantear el hecho de hallar integrales definidas mediante la suma de Riemman, cosa que no simplifica notoriamente el problemas, y es que solo podemos hallar la integral definida de un número reducido de funciones, en concreto las polinómicas de grados bajos, si queremos averiguar la integral definida de una función polinómica de grado 'n' debemos conocer la suma de las primeras 'n-ésimas' potencias, con lo cual no es nada sencillo. Ni hablar de funciones del tipo exponencial o logarítimicas, pues hallar un resultado para una suma infinita continua no es nada sencillo.
Antes de que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dijera que hallar el valor de una suma infinita continua tenía que ver con antiderivar, cada función y cada área ameritaba un análisis propio, por ejemplo, mediante el método de exhausción, que consistía en una doble reducción al absurdo para demostrar que el área de cierta figura descrita por una función era de cierto valor.
Por ende, no, no es tan sencillo (y probablemente ni siquiera sea posible para funciones compuestas) hallar un valor a una suma de Riemman con el uso de límites. Incluso si fuera posible, no es factible, el uso del Teorema Fundamental del Cálculo es mucho más óptimo en cuánto a ello.
Espero esto satisfaga tu sed de conocimiento, saludos! :)