Question

¿Como resolvería esta ecuación diferencial utilizando coeficientes indeterminados? , y''=((x^2)/2)+x/2 . Es urgente, muchas gracias de antemano.

Answer 1

1) Primero resolvemos la EDO homogénea

                                                         y'' = 0

y' = a

y = c₀x + c₁

2) Luego encontramos la solución particular

sea

$y=x^m(b_2x^2+b_1x+b_0)\\ \\y' = mx^{m-1}(b_2x^2+b_1x+b_0)+x^m(2b_2x+b_1)\\ \\y''=m(m-1)x^{m-2}(b_2x^2+b_1x+b_0)+mx^{m-1}(2b_2x+b_1)+mx^{m-1}(2b_2x+b_1)+2b_2x^m\\ \\y''=m(m-1)x^{m-2}(b_2x^2+b_1x+b_0)+2mx^{m-1}(2b_2x+b_1)+2b_2x^m\\ \\y''=[m(m-1)b_2+4mb_2+2b_2]x^m+[b_1m(m-1)+2mb_1]x^{m-1}+b_0m(m-1)x^{m-2}\\ \\\\\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x=[m(m-1)b_2+4mb_2+2b_2]x^m+[b_1m(m-1)+2mb_1]x^{m-1}+b_0m(m-1)x^{m-2}\to m=2$

$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x=12b_2x^2+6b_1x+2b_0\\ \\b_2=\dfrac{1}{24}\\\\b_1=\dfrac{1}{12}\\\\b_0=0$

$\text{Entonces}\\y_p=x^2\left(\dfrac{1}{24}x^2+\dfrac{1}{12}x\right)\\ \\ \\y_p=\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{1}{12}x^3$

Por lo tanto la solución general es

                                    $y=y_p+y_h\\\\y=\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{1}{12}x^3+C_0x+C_1$