Question

Como resolver si es inyectava y sobreinyectava al ejercicio f (X)= ×/×-5

Answer 1

Bueno, lo que nos pide es demostrar si la función es biyectiva...entonces debemos demostrar que es inyectiva y sobreyectiva...

Para la inyectividad, primero suponemos que:
 
f(a)=f(b)

debemos demostrar que:

a=b

entonces hagamos eso....antes de, definamos cual es el dominio de la función...estás de acuerdo que

$f(x)= \frac{x}{x-5}$

el denominador no puede ser cero??..porque algo sobre cero no existe...entonces:

x-5≠0
x≠5

y ya tenemos nuestro dominio, son todos los reales excepto el "5"...ahora si

Escojamos dos números del dominio, los llamaremos (a) y (b), vamos a suponer que es verdad que...

$f(a)=f(b)$

es decir:

$\frac{a}{a-5} = \frac{b}{b-5} \\ a(b-5)=b(a-5) \\ ab-5a=ab-5b \\ -5a=-5b \\ a=b$

y legas a eso, es decir la función efectivamente si es INYECTIVA...

ahora para la sobreyectividad...primero vamos a despejar la "x"...de la función

$y= \frac{x}{x-5} \\ y(x-5)=x \\ xy-5y=x \\ xy-x=5y \\ x(y-1)=5y \\ x= \frac{5y}{y-1}$

si hacemos la división de esa fracción, nos queda:

$x=5+ \frac{5}{y-1}$

ahora estás de acuerdo que la única restricción de ésta nueva función es que y≠1

es decir existe un elemento del recorrido que no pertenece al codominio de la función ..por lo tanto no es sobreyectiva...

$x=5+ \frac{5}{y-1}$

pero lo que hacemos es cambiar la "x"...por la "y"

$y=5+ \frac{5}{x-1}$


espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas: