como resolver matrices?
Respuestas a la pregunta
Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Dimensión de una matrizEl número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y unelemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Matrices igualesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Clasificación de matricesMatriz filaUna matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangularLa matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadradaLa matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nulaEn una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonalEn una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidadUna matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz regularUna matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singularUna matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotenteUna matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutivaMatriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétricaUna matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonalUna matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
Operaciones con matricesSuma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con elnúmero de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.
A · A-1 = A-1 · A = I
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
(-1) F2
La matriz inversa es
podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.
Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Podemos descartar una línea si:
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.