Question

como resolver lo siguiente. con el teorema del valor medio

Answer 1

Hola!

El teorema del valor medio nos dice que una función f(x) en un intervalo [a,b] debe ser continua y derivable en (a,b)

Ya cumpliendo con todo eso, entonces debe de existir un punto c entre (a,b) tal que la derivada de f(x) evaluado en c debe de ser

$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Analizamos la función f(x)=sen(x)

Vemos que es continua en el intervalo [0,π/2]

Entonces derivamos y tenemos que f'(x)=cos(x)

Evaluamos en c, f'(c)=cos(c)

y aplicando el teorema $f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$cos(c)= \frac{sen(b)-sen(a)}{b-a}$


$cos(c)= \frac{sen( \frac{\pi}{2} )-sen(0)}{ \frac{\pi}{2}-0}$

$cos(c)=0,6366197724$

$c=arccos(0,6366197724)$

$c= \frac{101 \pi }{360}$

Tenemos el valor de c


Ahora la siguiente función

$f(x)= \sqrt{x+1}$

Para que la función exista, $x+1 \geq 0$

$x \geq -1$

Ya teniendo el dominio de la función, podemos ver que es continua en [0,1]

entonces lo derivamos, $f'(x)= \frac{1}{ 2\sqrt{x+1} }$

$f'(c)= \frac{1}{ 2\sqrt{c+1} }$

aplicando el teorema

$\frac{1}{ 2\sqrt{c+1} }= \frac{ \sqrt{3+1}- \sqrt{0+1} }{3-1}$

${ \sqrt{c+1}= { \sqrt{3+1}- \sqrt{0+1} }$

$\sqrt{c+1}= 4-1$

$c+1= \sqrt{3}$

$c=\sqrt{3} -1$

Creo que eso sería momentáneamente