Question

como resolver esta integral con la suma de riemann f(x)= 2x^2-3x en el intervalo [0,4]

Answer 1

Tarea

Resolver esta integral con la suma de Riemann f(x) = 2x²-3x en el intervalo [0,4].

Hola!!!

Sumas de Riemann:

∫ₐᵇ f(x)dx = lim__n→∞ ∑ⁿ__k =1 f(a + kΔx)Δx

Δx = (b - a)/n

1) Primero hallamos Δx por su ecuación.

2)Hallamos f(a + kΔx)Δx

3) Para resolver la sumatoria debemos aplicar algunas de sus propiedades como:

∑(x + y) = ∑ x + ∑ y

∑ ax + ∑ bx = a×∑ x + b×∑ b

∑ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∑ k = n(n + 1)/2

4) Reducimos los termino lo máximo que podamos.

5) Con la expresión anteriormente hallada , ahora estamos en condiciones de calcular el limite, con lo cual debemos aplicar algunas propiedades importante de los limites:

lim__n→∞ an² + bn  =  lim__n→∞ an² + lim__bn→∞ n

lim__n→∞ an²  =  a×lim__n→∞ n²  

K/∞ = 0    

⇒      ∫ₐᵇ f(x)dx = lim__n→∞ ∑ⁿ__k =1 f(a + kΔx)Δx

Resultado = 56/3

Verificamos, resolviendo la integral por el método tradicional.

Para resolver aplicamos Propiedades de Integrales:

 ∫ₐᵇ (cx² + dx )dx  =   ∫ₐᵇ cx²dx +  ∫ₐᵇ dxdx  

c× ∫ₐᵇ x²dx  +   d×∫ₐᵇ xdx

Primitivas de Función Polinómica:  ∫ₐᵇ xⁿdx = xⁿ⁺1/n+1

∫₀⁴ 2x² - 3xdx =  ∫₀⁴ 2x²dx  - ∫₀⁴ 3xdx  =    

2∫₀⁴ 2x² - 3∫₀⁴ xdx =                

2(x³/3)║₀⁴ - 3(x²/2)║₀⁴ =

2(4³/3 - 0³/3) - 3(4²/2 - 0²/2) =

2(64/3 - 0) - 3(16/2 - 0) =

2×64/3 - 3×8 =

128/3 - 24 =

(128 - 72)/3 =

56/3    Verifica        

Obtuvimos el mismo valor que hallando la Integral por sumas de Riemann

Dejo 3 archivos con los cálculos paso a paso.

Saludos!!!