Question

como realizo el radical de una potencia con exponente

Answer 1

Tu pregunta es muy genérica pero te la voy a resumir lo mejor posible.

Primero he de entender qué quieres decir exactamente y supongo que te refieres a extraer la raíz n-ésima de cualquier potencia, es decir, la raíz de una base y exponente.  Te pongo ejemplos:

$\sqrt{a^2}=a \\ \\ \sqrt{a^4}= \sqrt{a^2*a^2} =a*a=a^2 \\ \\ \sqrt{a^6}= \sqrt{a^2*a^2*a^2}=a*a*a=a^3$

Hasta aquí sólo he usado raíces cuadradas, es decir, de índice 2 que no se pone porque se entiende por defecto.

Fíjate que en el primer ejemplo, el resultado es a¹  porque lo que se hace para trabajar con el exponente del radicando y el índice de la raíz es dividir aquél entre éste, en este caso:  2 dividido entre 2 = 1 que es el exponente resultante para la solución.

En el segundo ejemplo, el resultado es a²  por la misma razón, se divide exponente del radicando entre el índice de la raíz:  
4 entre 2 = 2 que es el exponente del resultado de la operación

En el tercero, lo mismo: 6 entre 2 = 3 y eso es el exponente del resultado.

Te pongo un cuarto ejemplo pero con índice diferente de 2:

$\sqrt[5]{ x^{15} } = \sqrt[5]{x^5*x^5*x^5} =x*x*x=x^3$

Como ves, se cumple que el exponente del resultado es el cociente entre el exponente del radicando (15) y el índice de la raíz (5)

Veamos ahora otro caso distinto:
¿Qué pasaría si el exponente no fuera divisible por el índice? Se efectúa igualmente la división entre exponente e índice.

El cociente de esa división será el exponente del resultado que quedará fuera de la raíz y el residuo de la división será el exponente de lo que quedará dentro de la raíz.

Ejemplos:
$\sqrt{a^7}= \sqrt{a^2*a^2*a^2*a^1} =a*a*a* \sqrt{a} =a^3* \sqrt{a}$

$\sqrt[6]{ x^{20} } = \sqrt[6]{x^6*x^6*x^6*x^2}=x*x*x* \sqrt[6]{x^2}=x^3* \sqrt[6]{x^2}$

De nuevo llamo tu atención al detalle de cómo queda el resultado. Al dividir 20 entre 6 tenemos 3 de cociente (exponente de lo que sale fuera de la raíz) y 2 de residuo, exponente de lo que queda dentro de la raíz.

Un paso más sería simplificar esa raíz de este modo:
$x^3* \sqrt[6]{x^2}=x^3* \sqrt[3]{x^1}=x^3* \sqrt[3]{x}$

Pero esto de simplificar radicales no sé si ya lo has visto.

Saludos.