Question

cómo puedo resolverlo porfavor​

Answer 1

Al resolver las respectivas composiciones de las funciones se obtiene:

$(gof)^{-1}= \sqrt[3]{\frac{3e^{x} - 1}{1 - e^{x}} }$

$g^{-1}of^{-1} =e^{\sqrt[3]{ \frac{3x-1}{1+x} } }$

¿Qué es una función compuesta?

Es la aplicación sucesiva de una función en la otra.

La composición tiene las siguientes propiedades:

• Es asociativa, (g o f) o h = g o (f o h)  
• No es conmutativa, (g o f) ≠ (f o g)
• (g o f)⁻¹ = f⁻¹ o g⁻¹

Una función inversa es opuesta a la original se le asignen los valores de y a x.

• f⁻¹

Siendo;

$f(x) = \frac{x^{3}+1 }{3-x^{3}}$

$g(x) = Ln(x)$

$(g o f) = g[f(x)]$

sustituir;

$(g o f) = Ln(\frac{x^{3}+1 }{3-x^{3}} )$

Calcular la inversa;

$(gof)^{-1}=Ln(\frac{y^{3} +1}{3-y^{3}} ) = x$

Aplicar base e;

$e^{Ln(\frac{y^{3} +1}{3-y^{3}} ) }= e^{x}$

$\frac{y^{3} +1}{3-y^{3}} = e^{x}$

Despejar y;

$y^{3} +1 = e^{x}(3-y^{3})$

$y^{3} +1 = 3e^{x}-y^{3}e^{x}$

Agrupar términos semejante;

$(1 - e^{x})y^{3} = 3e^{x} - 1$

$y^{3} = \frac{3e^{x} - 1}{(1 - e^{x})}$

Aplicar raíz cubica;

$y = \sqrt[3]{\frac{3e^{x} - 1}{(1 - e^{x})} }$

$(gof)^{-1}= \sqrt[3]{\frac{3e^{x} - 1}{1 - e^{x}} }$

$g^{-1} = Ln(y) =x$

Aplicar base e;

$e^{Ln(y)}=e^{x}$

$g^{-1} = y = e^{x}$

$f^{-1}=\frac{y^{3}+1}{3-y^{3}} = x$

Despejar y;

$y^{3}+1 = x(3-y^{3}) \\y^{3}+1 = 3x-xy^{3}\\(1 + x)y^{3} = 3x - 1\\y^{3} = \frac{3x-1}{1+x}$

Aplicar raíz cubica;

$\sqrt[3]{y^{3} } =\sqrt[3]{ \frac{3x-1}{1+x} }$

$y =\sqrt[3]{ \frac{3x-1}{1+x} }$

$f^{-1}=\sqrt[3]{ \frac{3x-1}{1+x} }$

Aplicar función compuesta;

$g^{-1}of^{-1} =e^{\sqrt[3]{ \frac{3x-1}{1+x} } }$

Puedes ver más sobre función compuesta aquí:

https://brainly.lat/tarea/42956