Question

Como puedo resolver esto?

Infiere las siguientes identidades a partir de la identidad dada

•Sen2 Ø+cos2 Ø=1 de cot2 Ø+1 = csc2 Ø
•sen2 Ø+cos2 Ø=1 de tan2+1 = sec2 Ø
•tan2 Ø+1 =sec2 Ø de cot2 Ø+1 = csc2 Ø

Answer 1

Las comprobaciones se hacen a partir de las relaciones recíprocas entre las expresiones trigonométricas que se deducen de las razones de los lados de un triángulo rectángulo.

Explicación paso a paso:

•  sen²Ø  +  cos²Ø  =  1   de   cot²Ø  +  1  =  csc²Ø

Vamos a expresar todo en senos y cosenos y operamos para obtener la primera identidad de la trigonometría:

$cot^{2}\theta~+~1~=~csc^{2}\theta \quad \Rightarrow \quad \frac{cos^{2}\theta}{sen^{2}\theta}~+~1~=~\frac{1}{sen^{2}\theta} \quad \Rightarrow\\\\(sen^{2}\theta)\frac{cos^{2}\theta}{sen^{2}\theta}~+~(1)(sen^{2}\theta)~=~1 \quad \Rightarrow \quad \bold{cos^{2}\theta~+~sen^{2}\theta~=~1}$

•  sen²Ø  +  cos²Ø  =  1   de   tan²Ø  +  1  =  sec²Ø

Como en la anterior, vamos a expresar todo en senos y cosenos y operamos para obtener la primera identidad de la trigonometría:

$tan^{2}\theta~+~1~=~sec^{2}\theta \quad \Rightarrow \quad \frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta}~+~1~=~\frac{1}{cos^{2}\theta} \quad \Rightarrow\\\\(cos^{2}\theta)\frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta}~+~(1)(sen^{2}\theta)~=~1 \quad \Rightarrow \quad \bold{sen^{2}\theta~+~cos^{2}\theta~=~1}$

•  tan²Ø  +  1   =  sec²Ø   de   cot²Ø  +  1  =  csc²Ø

En principio usamos la relación recíproca entre tangente y cotangente y luego transformamos a senos y cosenos a conveniencia:

$cot^{2}\theta~+~1~=~csc^{2}\theta \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{tan^{2}\theta}~+~1~=~csc^{2}\theta \quad \Rightarrow\\\\\frac{1~+~(1)(tan^{2}\theta)}{tan^{2}\theta}~=~csc^{2}\theta \quad \Rightarrow \quad 1~+~tan^{2}\theta=tan^{2}\theta csc^{2}\theta \quad \Rightarrow\\\\1~+~tan^{2}\theta=\frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta} \frac{1}{sen^{2}\theta} \quad \Rightarrow \quad 1~+~tan^{2}\theta=\frac{1}{cos^{2}\theta} \quad \Rightarrow\\\\\bold{1~+~tan^{2}\theta=sec^{2}\theta}$