Question

como puedo hacer todo eso?

Answer 1

No es un muy complicado, excepto por la parte en que me disloco mi cuello....para intentar ver...pero ok..amm...
sería algo así...de una vez vamos a calcular el límite para ver que nos da...
$\lim_{x \to \(-1} \frac{ x^{3}+1 }{ x^{2} -1} = \frac{(-1)^{3}+1 }{(-1)^{2}-1 }= \frac{0}{0}$ y nos dio un indeterminación entonces para éste tipo de ejercicios debes ser hábil, astuta, y utilizar todo lo que sepas para poder eliminar la indeterminación es decir, multiplicar por número inteligentes, racionalizar, factorar..
Ahora vamos a factorar como recordarás
$(a+b)^{3}=(a+b)( a^{2}-ab + b^{2} )$ ésto vamos a aplicar al polinomio del numerador.
y de paso factoremos el denominador que es una diferencia de cuadrados nos queda 
$(x+1)(x-1)$ ahora juntos todo de nuevo
nos quedaría así y de una vez obtendremos el límite, bueno, veamos si sirvió factorizar...:D
$\lim_{x \to \(-1} \frac{ x^{3}+1 }{ x^{2} -1}= \frac{(x+1)( x^{2} -x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{ x^{2}-x+1 }{x-1}= \frac{(-1) ^{2}-(-1)+1 }{-1-1} = \frac{3}{-2}=- \frac{3}{2}$ y eso sería todo...siguiente
hay que bonito ejercicio, el siguiente...lo siento tuve otro tipo que vino con unos límites feísimos..jaja...de una vez calcularemos el límite para ver que sucede...
$b) \lim_{x \to \+5} \frac{x-5}{ x^{2} -25} = \frac{5-5}{ 5^{2}-25 } = \frac{0}{0}$ ok nos salió una indeterminación pero ya salta a la vista que si factoramos el denominador todo se hace very facil...

$\lim_{x \to \+5} \frac{x-5}{ x^{2} -25}= \frac{x-5}{(x+5)(x-5)}= \frac{1}{x+5}= \frac{1}{10}$ y eso sería todo

$c) \lim_{x \to \+0} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x}$ creo que es obvio que nos va a quedar una indeterminación 0/0 entonces veamos que se puede hacer...pensemos...mmm...
Listo¡¡...al principio te dije que hay que usar todo lo que sepas, entonces vamos a ...multiplicar un número inteligente es decir si a cualquier cosita le multiplico por 1 me va a dar cualquier cosita...ahora en una fracción, a/a=1 verdad?...pero yo voy a escoger lo que yo quiera para que me ayude a eliiminar esa "x" del denominador..entonces te parece como que $\frac{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} }{\sqrt{x+2}+ \sqrt{2} } =1$
entonces vamos a multiplicar lo que teníamos por éste número inteligente...lo que también se llama multiplicar por el conjugado..
$\lim_{x \to \+0} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x}= (\frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x})( \frac{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} }{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} } ) \\ = \frac{x+2-2}{x( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} )} = \frac{x}{x( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} )}= \frac{1}{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} }$ ehh¡..lo logramos bueno yo lo logré...entonces...ya nos decicimos de la x que nos molestaba ahora si calculamos el límite 
$\lim_{x \to \+0} \frac{1}{ \sqrt{x+2}+ \sqrt{2} }= \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{2} }= \frac{1}{2 \sqrt{2} }= \frac{1}{2 \sqrt{2} }( \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } )= \frac{ \sqrt{2} }{4}$ y listo.

$e) divergente$ esa es la respuesta...puedes justificarlo viendo lo que los límites de la derecha e izquierda son distintos..te ayudase pero estoy escribiendo mucho y luego no me deja publicar
$f) \lim_{h \to \+0} \frac{(x+h)^{3}- x^{3} }{h}$ ésto es un definición de derivada, y es obvio que nos va a salir una indeterminación por el denominador entonces hagamos los siguiente, vamos a aplicar ese binomio al cubo operamos y sacamos el límite así...y de una vez me despido...
$\lim_{h \to \+0} \frac{(x+h) ^{3}- x^{3} }{h} = \frac{( x^{3}+3 x^{2} h+3x h^{2}+ h^{3} )- x^{3} }{h}= \frac{h(3 x^{2} +3xh+ h^{2} )}{h}=... \\ ...=3 x^{2} +3xh+ h^{2} =3 x^{2} +3x(0)+(0) ^{2} =3 x^{2}$
te dejo ésta herramienta úsala solo para comprobar.. INTÉNTALO¡...y vuelvelo a hacer hasta que te salga...cuando no mismo te salgo..recurre a https://es.symbolab.com/
Cualquier inquietud que tengas me avisas...y veo si te puedo ayudar...