Question

cómo puede ser el factor común de una expresión​

Answer 1

Respuesta:

Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, la aplicación correcta de la propiedad distributiva nos permitirá expresar el polinomio como el producto de dos factores donde uno de ellos será el factor común.

Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio 2x – x2 cada término del polinomio tiene como factor x. Por tanto x es el factor común.

Escribimos el factor común x como coeficiente de un paréntesis. Así: x(). 

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el factor común. De la siguiente forma:

2x= 2x-x2= -xx

Y tendremos que: 2x – x2 = x (2 - x)

Ejemplo. Factorizar la expresión 2a3b – 8a2b2

Los coeficientes 2 y 8 tienen como factor común 2, en su parte literal los factores comunes son a y b, que tomaremos con su menor exponente, esto es, a2 y b.

De acuerdo con esto, el factor común de la expresión es 2a2b, el cual escribimos como el coeficiente de un paréntesis. Así: 2a2b().

Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el factor común, en la siguiente forma:

2a3b= a2a2b-8a2b2= -4b2a2b

Y tendremos que: 2a3b – 8a2b2 = 2a2b (a – 4b)

Ejemplo 2

Factorizar la expresión 20x3y2 + 10x2y3 – 30x2y2 

Los coeficientes 20, 10 y 30 tienen como factor común al 10, porque es el divisor mayor.

De la parte literal los factores comunes son x, y, que tomaremos con su menor exponente, esto es: x2; y2

Por lo anterior, el factor común de la expresión resulta ser 10x2y2    el cual se escribe como el coeficiente de un paréntesis.  Así: 10x2y2(). 

Dentro del paréntesis escribimos los coeficientes que resultan de dividir cada término del polinomio entre el término común:

20x3y2= 2x10x2y210x2y3= y10x2y2-30x2y2= -310x2y2

Y tendremos lo siguiente 20x3y2 + 10x2y3 – 30x2y2 = 10x2y2 (2x + y - 3). 

Como puedes observar, para factorizar por factor común un polinomio se procede de la siguiente manera:

Se busca el factor común de los términos del polinomio (primero el coeficiente y después las literales). Si los coeficientes resultan tener varios factores se saca como factor común el mayor divisor y de las literales se toman aquellas que aparezcan en todos los términos y con menor exponente.

El factor común obtenido se escribe como el coeficiente de un paréntesis.

Se divide cada término del polinomio entre el término común y los cocientes se escriben dentro del paréntesis.

En este tipo de factorización se presenta el caso de que el factor común del polinomio dado, sea otro polinomio por ejemplo, si observamos detenidamente el polinomio a(x+1)+ b(x+1) tienen como factor común al polinomio ( x + 1 ). En estos casos, ya identificado el factor común, se procede de la misma forma que en los casos anteriores.

Ejemplo 3

Factorizar la expresión  x(a+1) - 3(a+1)

El polinomio (a + 1 ) es el factor común de la expresión y lo escribimos como coeficiente de un paréntesis ( a + 1 ) (   ).

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la expresión entre el término común.

Así:

x(a + 1)= x(a + 1)-3(a + 1)= -3(a + 1)

Y tenemos que x(a + 1) – 3(a + 1) = (a + 1)(x - 3).

El polinomio ( 3x-2 )(  )  es el factor común de la expresión y lo escribimos como coeficiente de un paréntesis.

Dentro del paréntesis escribimos los cocientes que resultan de dividir cada término de la expresión entre el término común, esto es:

2x(3x - 2)= 2x(3x - 2)-7(3x - 2)= 7(3x - 2)

Por tanto tenemos que 2x(3x - 2) – 7(3x - 2) = (3x - 2)(2x - 7).

En algunos casos los polinomios no pueden ser factorizados por este método, como el polinomio 7x2 – 4x + 3b donde no aparece un factor común ni en los coeficientes ni en las literales.

Dada la expresión 4m (a2 + x - 1) + 3n (x – 1 + a2)

¿El factor común es el polinomio (a2 + x -1)?

Si la respuesta es afirmativa