¿cómo obtengo la ecuación de una elipse (horizontal o vertical) con vértice fuera del origen?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La ecuación de la elise con centro en el punto
es:
donde es la mitad de la longitud del eje mayor y es la mitad de la longitud del eje menor.
Geométricamente tenemos la siguiente situación:
Como era de esperarse, las fórmulas para el cálculo de los focos, sus vértices, etc. cambian. Por ejemplo, para calcular los vértices de la elipse horizontal, ahora utilizaremos las fórmulas:
Y para el caso de la elipse vertical tenemos:
Por su parte los focos de la elipse horizontal se calculan con:
Y para la elipse vertical:
Ejemplo 1
Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en el punto
y cuyo eje mayor mide 10 unidades y el eje menor mide 6 unidades.
Del texto del problema es facil ver que y que . También y . Luego, la ecuación de esta elipse es:
A partir de los valores de y podemos calcular el valor de :
Los focos de esta elipse están en los puntos:
Los vértices están en:
La gráfica de esta elipse es la siguiente:
La excentricidad de esta elipse es:
Ejemplo 2
Calcula la ecuación de la elipse que tiene su centro en el punto
, uno de sus focos está en el punto
y un vértice en
.
A partir de las coordenadas del centro conocemos los valores de y : y . Usando las fórmulas para el foco y el vértice podemos calcular los valores de y . Empezamos calculando el valor de a partir de la coordenada del vértice y el valor de :
De manera semejante, aplicamos la fórmula para calcular la coordenada del foco y así encontramos el valor de :
Ahora podemos escribir la ecuación de la elipse:
A partir de los valores de y podemos calcular el valor de :
La excentricidad de esta elipse es:
Se te queda como ejercicio graficar esta elipse.
Observa cómo es que en estos problemas el truco consiste en conocer los valores de , , , y . Una vez que conozcamos sus valores, podemos calcular la ecuación de la elipse. De hecho, conociendo dos de los valores
, podemos calcular el tercero utilizando la relación:
Los valores de y que corresponden al centro de la elipse servirán para escribir la ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria, que corresponde a las que tienen su centro fuera del origen.
Recuerda que elaborar una gráfica con los datos que provee el texto del problema siempre nos ayuda a reconocer información geométrica y calcular, sin el uso de las fórmulas, alguno o algunos de los valores de , y/o . Inclusive, también el de las