¿como medir la edad del universo?
Respuestas a la pregunta
Para determinar la edad del universo es necesario conocer la evolución temporal del factor de escala cósmico R(t), lo que supone resolver las ecuaciones cosmológicas de la RG.
No estará de más recordar que en física tratamos sólo con modelos de la realidad y no con la realidad misma, de modo que diferentes modelos cosmológicos proporcionarán estimaciones distintas para la edad del universo aunque, obviamente, la mejor estimación será la de aquel modelo que mejor se ajuste a las observaciones cosmológicas, que hoy por hoy es el modelo Lambda-Cold Dark Matter (ΛCDM).
El cálculo de la edad del universo es complejo, como casi todo en RG. Para simplificar el asunto (inevitable en un medio como YR) me basaré en un modelo cosmológico sencillo, con Λ = 0. Al final, no obstante, indicaré cómo influye una constante cosmológica Λ ≠ 0 en la edad del universo.
● ECUACIÓN DE FRIEDMANN (ecuación de campo de Einstein para un universo homogéneo e isótropo):
(dR/dt)² + k = (8πG/3)ρR² ........................................... [1]
Esta es la ecuación dinámica del universo: describe la expansión cósmica, es decir, cómo varía el factor de escala R(t) con el tiempo cósmico t.
ρ = densidad de masa-energía cósmica
k = curvatura espacial
● ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA-ENERGÍA:
ρ.R³ = ρₒ.Rₒ³ ........................................... [2]
En efecto, consideremos un cierto volumen espacial Vₒ comóvil en la actualidad t = tₒ. En un tiempo posterior t > tₒ el volumen Vₒ se habrá incrementado hasta cierto valor
V > Vₒ debido a la expansión del espacio. Ahora bien, la masa permanece constante:
M = ρ.V = ρₒ.Vₒ
Y, como V ~ R³, se verifica [2].
NOTA: En toda mi exposición el subíndice ₒ significa "valor actual" de la magnitud correspondiente.
● RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE FRIEDMANN.
De [2] ρ = ρₒ(Rₒ/R)³ y sustituimos esto en [1]:
(dR/dt)² + k = (8πG/3).ρₒRₒ³/R ........................................... [3]
De acuerdo con los datos cosmológicos del WMAP el universo es aprox. plano, es decir, k ≈ 0. Luego la ecuación [3] se reduce a:
(dR/dt)² = (8πG/3).ρₒRₒ³/R ........................................... [4]
Ahora vamos a resolver la ecuación diferencial [4]:
dR/dt = √[(8πG/3).ρₒRₒ³/R]
√R.dR = √[8πGρₒ/3].Rₒ^(3/2).dt
Integrando ambos miembros:
(2/3)R^(3/2) = √[8πGρₒ/3].Rₒ^(3/2).t + C ............................... [5]
La constante de integración C se determina imponiendo la condición inicial:
t = 0 ===> R = 0 (en el instante del Big Bang el volumen del universo es nulo)
De [5] se deduce que C = 0 ====>
(2/3)(R/Rₒ)^(3/2) = √(8πGρₒ/3).t
(R/Rₒ)^(3/2) = √(8πGρₒ/3).3t/2
(R/Rₒ) = (8πGρₒ/3)^(1/3).(3t/2)^(2/3)
>>> Solución de la ecuación diferencial [4]:
R(t) = Rₒ.(8πGρₒ/3)^(1/3).(3t/2)^(2/3) .................................... [6]
Conocido R(t) podemos determinar la dependencia temporal del parámetro de Hubble
H(t), que se define como:
H(t) ≡ 1/R.dR/dt ........................................... [7]
Sustituyendo [6] en [7]:
H(t) = 1/[Rₒ.(8πGρₒ/3)^(1/3).(3t/2)^(2/3)]. Rₒ.(8πGρₒ/3)^(1/3). (2/3)(3t/2)t^(-1/3).3/2
Notemos que el factor Rₒ.(8πGρₒ/3)^(1/3) que aparece en el numerador y denominador se simplifica:
H(t) = 1/[(3t/2)^(2/3)]. (3/2t)^(-1/3) = 1/(3t/2) =====>
H(t) = 2/3t ........................................... [8]
Esta expresión nos da la variación temporal del parámetro de Hubble H en un universo plano k = 0 y con Λ = 0. En la actualidad:
Hₒ = 2/3tₒ ====> tₒ = 2/3Hₒ <EDAD DEL UNIVERSO> ................................... [9]
Hₒ ≈ 70 (km/s)/Mpc =====> tₒ = 2/3Hₒ ≈ 9200 millones años
● La estimación anterior para la edad del universo planteó durante años un problema cosmológico ya que se conocen estrellas más viejas que 9200 millones años y, naturalmente, ningún objeto celeste puede ser más antiguo que el propio universo.
Ωᵤ = densidad cósmica de materia ordinaria + materia oscura
Ωₓ = densidad cósmica de energía oscura