Question

Como hago para despejar esta ecuación trigonometría(identidades) a lo más pequeño
Tan-cot/tan^2-cot^2
Sabiendo que tan= sen/cos y cot=cos/sen

Answer 1

Hola,

Sabiendo como se descompone la tangente y cotangente, sustituimos en la expresión:

$\frac{tan x - cot x }{tan^{2}x - cot^{2}x} = \frac{ \frac{senx}{cosx} - \frac{cosx}{senx} }{ (\frac{senx}{cosx})^{2} - (\frac{cosx}{senx})^{2}}$

Veamos el numerador ( la parte de arriba de la fracción ) como nos queda :

${ \frac{senx}{cosx} - \frac{cosx}{senx} } = \frac{sen^{2}x - cos^{2}x}{cosx \cdot senx}$

Ahora vemos el denominador :

$(\frac{senx}{cosx})^{2} - (\frac{cosx}{senx})^{2} = \frac{sen^{3}x - cos^{3}x}{cos^{2}x \cdot sen^{2}x}$

Volvamos a la expresión original, o sea dividimos el numerador por el denominador :

$\frac{\frac{sen^{2}x - cos^{2}x}{cosx \cdot senx}}{\frac{sen^{3}x - cos^{3}x}{cos^{2}x \cdot sen^{2}x}} = \frac{cos^{2}x \cdot sen^{2}x(sen^{2}x-cos^{2}x)}{cosx \cdot senx(sen^{3}x-cos^{3}x)}$

Podemos simplificar el producto cosx * senx así nos quedará ;

$\frac{cosx \cdot senx(sen^{2}x-cos^{2}x)}{(sen^{3}x-cos^{3}x)}$

Pues bien, hay una diferencia de dos factores cúbicos, tienes que recordar todas las factorizaciones posibles para simplificar el ejercicio, está la diferencia de cubos que dice esto :

a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Si hacemos eso para el denominador :

sen³x - cos³x = (senx - cosx)(sen²x + senx*cosx + cos²x)
                     = (senx - cosx)( 1 + senx * cosx)

El 1 sale de la identidad fundamental, sen²x+cos²x = 1 ( solo reemplazé), ahora si ves el numerador, hay una suma por su diferencia o sea :

sen²x - cos²x = (senx - cosx)(senx + cosx)

Si sustituimos esto nos quedará :

$\frac{cosx \cdot senx(sen^{2}x-cos^{2}x)}{(sen^{3}x-cos^{3}x)} \\ \\ = cosx \cdot senx \frac{(senx-cosx)(senx+cosx)}{(senx - cosx)( 1 + senx \cdot cosx)}$

Podemos simplificar el término senx - cosx : 


$cosx \cdot senx \frac{(senx+cosx)}{( 1 + senx \cdot cosx)}$

Y observando, no puedo simplificar mucho más..

Salu2 :)