como es la resolución..
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A la derecha hay un lado de 6 cm que se divide en 3 segmentos verticales consecutivos de 1, 2 y 3 cm
El ángulo que está en el vértice de arriba a la derecha es tita
Podes nombrar beta al ángulo que está en el vértice donde termina el segmento de 3 cm, (no el superior sino el punto donde comienza el segmento de 2 cm) Entonces, si consideramos que el triángulo grande se divide en 3 triángulos pequeños, Sabemos que sus tres ángulos son tita, beta y 180-tita-beta
Además podemos nombrar a los dos ángulos desconocidos del segundo triángulo pequeño Sabemos que el que está más arriba y a la derecha suma 180 con el ángulo beta, entonces 180=beta+? el ángulo desconocido mide 180 menos beta
Conociendo que los ángulos internos de un triángulo suman 180, y que uno de los ángulos de este triángulo es dato (mide tita) y que al otro lo acabamos de calcular (mide 180-beta) Entonces podemos saber cuanto mide el otro 180=tita+180-beta+? Entonces el ángulo desconocido mide beta-tita
Conociendo que este último ángulo en conjunto con el del vértice superior derecho del triángulo pequeño que está más abajo, suman 180, podemos saber que este mide 180-(beta-tita) es decir 180-beta+tita
Luego de haber nombrado los ángulos, podemos usar tangente para cada uno de los tres vértices superiores más a la derecha de los tres triángulos que se forman (el original el más grande de todos, el que está en rosado y el que está en celeste) Es decir que haces tangente del ángulo que mide tita, del que mide 180-beta y del que mide 180-beta+tita
Luego, el cateto opuesto de cada uno de eso ángulos es desconocido, es el cateto inferior del triángulo principal, cat.op. por llamarlo de alguna manera
Los catetos adyacentes de esos ángulos miden 1, 1+2 y 1+2+3 es decir 1, 3 y 6
Entonces tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde podemos sacar cuanto vale tita
tg(tita)=cat.op/6
tg(180-beta)=cat.op/3
tg(180-beta+tita)=cat.op/1=cat.op
De la primera despejo que el cateto opuesto mide 6 tg(tita) entonces lo reemplazo en las otras dos
tg(180-beta)=2tg(tita) y tg(180-beta+tita)=6tg(tita)
Se cumple la siguiente propiedad tg(α+β)=(tgα+tgβ)/(1-tgαtgβ) Entonces
tg(180-beta+tita)= (tg(180-beta)+tg(tita)) / (1-tg(180-beta)tg(tita))
Luego la segunda ecuación queda
(tg(180-beta)+tg(tita)) / (1-tg(180-beta)tg(tita))=6tg(tita) es decir
tg(180-beta)+tg(tita) = (1-tg(180-beta)tg(tita))*6tg(tita) es decir
tg(180-beta)+tg(tita) =6tg(tita)-6tg(180-beta)tg²(tita) es decir
tg(180-beta) = 5tg(tita)-6tg(180-beta)tg²(tita)
Luego, de la primer ecuación despejo tg(tita)
tg(180-beta)=2tg(tita) entonces tg(tita)=tg(180-beta)/2
Luego reemplazo en la 2da ecuación
tg(180-beta) = 5tg(180-beta)/2-6tg(180-beta)(tg(180-beta)/2)²
Divido todos los términos por tg(180-beta) queda
1=5/2-6(tg(180-beta)/2)² es decir 1-5/2=-6tg²(180-beta)/4
-3/2=-6tg²(180-beta)/4 tg²(180-beta) = 1 tg(180-beta)=1
180-beta=arctg(1) beta=180-45 = 135
Como tita cumple que tg(tita)=tg(180-beta)/2 (despejado de la primer ecuación) entonces tg(tita)=tg(180-135)/2=tg(45)/2=1/2
Luego la tangente de tita vale 1/2
El ángulo que está en el vértice de arriba a la derecha es tita
Podes nombrar beta al ángulo que está en el vértice donde termina el segmento de 3 cm, (no el superior sino el punto donde comienza el segmento de 2 cm) Entonces, si consideramos que el triángulo grande se divide en 3 triángulos pequeños, Sabemos que sus tres ángulos son tita, beta y 180-tita-beta
Además podemos nombrar a los dos ángulos desconocidos del segundo triángulo pequeño Sabemos que el que está más arriba y a la derecha suma 180 con el ángulo beta, entonces 180=beta+? el ángulo desconocido mide 180 menos beta
Conociendo que los ángulos internos de un triángulo suman 180, y que uno de los ángulos de este triángulo es dato (mide tita) y que al otro lo acabamos de calcular (mide 180-beta) Entonces podemos saber cuanto mide el otro 180=tita+180-beta+? Entonces el ángulo desconocido mide beta-tita
Conociendo que este último ángulo en conjunto con el del vértice superior derecho del triángulo pequeño que está más abajo, suman 180, podemos saber que este mide 180-(beta-tita) es decir 180-beta+tita
Luego de haber nombrado los ángulos, podemos usar tangente para cada uno de los tres vértices superiores más a la derecha de los tres triángulos que se forman (el original el más grande de todos, el que está en rosado y el que está en celeste) Es decir que haces tangente del ángulo que mide tita, del que mide 180-beta y del que mide 180-beta+tita
Luego, el cateto opuesto de cada uno de eso ángulos es desconocido, es el cateto inferior del triángulo principal, cat.op. por llamarlo de alguna manera
Los catetos adyacentes de esos ángulos miden 1, 1+2 y 1+2+3 es decir 1, 3 y 6
Entonces tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde podemos sacar cuanto vale tita
tg(tita)=cat.op/6
tg(180-beta)=cat.op/3
tg(180-beta+tita)=cat.op/1=cat.op
De la primera despejo que el cateto opuesto mide 6 tg(tita) entonces lo reemplazo en las otras dos
tg(180-beta)=2tg(tita) y tg(180-beta+tita)=6tg(tita)
Se cumple la siguiente propiedad tg(α+β)=(tgα+tgβ)/(1-tgαtgβ) Entonces
tg(180-beta+tita)= (tg(180-beta)+tg(tita)) / (1-tg(180-beta)tg(tita))
Luego la segunda ecuación queda
(tg(180-beta)+tg(tita)) / (1-tg(180-beta)tg(tita))=6tg(tita) es decir
tg(180-beta)+tg(tita) = (1-tg(180-beta)tg(tita))*6tg(tita) es decir
tg(180-beta)+tg(tita) =6tg(tita)-6tg(180-beta)tg²(tita) es decir
tg(180-beta) = 5tg(tita)-6tg(180-beta)tg²(tita)
Luego, de la primer ecuación despejo tg(tita)
tg(180-beta)=2tg(tita) entonces tg(tita)=tg(180-beta)/2
Luego reemplazo en la 2da ecuación
tg(180-beta) = 5tg(180-beta)/2-6tg(180-beta)(tg(180-beta)/2)²
Divido todos los términos por tg(180-beta) queda
1=5/2-6(tg(180-beta)/2)² es decir 1-5/2=-6tg²(180-beta)/4
-3/2=-6tg²(180-beta)/4 tg²(180-beta) = 1 tg(180-beta)=1
180-beta=arctg(1) beta=180-45 = 135
Como tita cumple que tg(tita)=tg(180-beta)/2 (despejado de la primer ecuación) entonces tg(tita)=tg(180-135)/2=tg(45)/2=1/2
Luego la tangente de tita vale 1/2
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