Question

como es el teorema de tales?

Answer 1

El
primer teorema de Tales recoge uno
de los resultados más básicos de la
geometría, a saber, que:
Según parece, Tales descubrió el
teorema mientras investigaba la
condición de paralelismo entre dos
rectas. De hecho, el primer teorema
de Tales puede enunciarse como
que la igualdad de los cocientes de
los lados de dos triángulos no es
condición suficiente de paralelismo.
Sin embargo, la principal aplicación
del teorema, y la razón de su fama,
se deriva del establecimiento de la
condición de semejanza de
triángulos, a raíz de la cual se
obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia
de una relación de semejanza entre
ambos triángulos se deduce la
necesaria proporcionalidad entre
sus lados. Ello significa que la razón
entre la longitud de dos de ellos en
un triángulo se mantiene constante
en el otro.
Por ejemplo, en la figura se
observan dos triángulos que, en
virtud del teorema de Tales, son
semejantes. Entonces, del mismo se
deduce a modo de corolario que el
cociente entre los lados A y B del
triángulo pequeño es el mismo que
el cociente entre los lados D y C en
el triángulo grande. Esto es, que
como por el teorema de Tales
ambos triángulos son semejantes,
se cumple que:
Este corolario es la base de la
geometría descriptiva. Su utilidad es
evidente; según Heródoto , el propio
Tales empleó el corolario de su
teorema para medir la altura de la
pirámide de Keops en Egipto . En
cualquier caso, el teorema
demuestra la semejanza entre dos
triángulos, no la constancia del
cociente.
Del primer teorema de Tales se
deduce además lo siguiente
(realmente es otra variante de dicho
teorema, y, a su vez, consecuencia
del mismo): Si las rectas A, B, C son
paralelas y cortan a otras dos rectas R
y S, entonces los segmentos que
determinan en ellas son
proporcionales.
Segundo teorema
fig 2.1 Ilustración del enunciado del
segundo teorema de Tales de
Mileto.
El segundo teorema de Tales de
Mileto es un teorema de geometría
particularmente enfocado a los
triángulos rectángulos, las
circunferencias y los ángulos
inscritos, consiste en el siguiente
enunciado:
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2 ),
es un caso particular de una
propiedad de los puntos cocíclicos y
de la aplicación de los ángulos
inscritos dentro de una
circunferencia.
Demostración
fig 2.2 Siempre que AC sea un
diámetro , el ángulo B será
constante y recto .
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC
son isósceles.
En la circunferencia de centro O y
radio r (véase fig 2.3 ), los
segmentos
OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de
la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y
BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo
ABC es:
Dividiendo ambos miembros de la
ecuación anterior por dos, se
obtiene:
Con la expresión anterior el segundo
teorema queda demostrado.
Corolarios
Ya que aplicando el teorema
anterior, se sabe que para cualquier
posición que adopte el vértice B vale
la igualdad, OA = OB = OC = r, donde
OB es la mediana de la hipotenusa,
(véase fig 2.3 ).
El corolario 2 también surge de
aplicar el teorema anterior, para una
comprensión intuitiva basta
observar la fig 2.2 .
Aplicación del
segundo teorema
Construcción de tangentes ( líneas
rojas) a una circunferencia k desde
un punto P, utilizando el «segundo
teorema de Tales».
El “segundo teorema” (de Tales de
Mileto) puede ser aplicado para
trazar las tangentes a una
circunferencia k dada, que además
pasen por un punto P conocido y
externo a la misma ( véase figura ).
Se supondrá que una tangente
cualquiera t ( por ahora desconocida)
toca a la circunferencia k en un
punto T ( también desconocido por
ahora ). Se sabe por simetría que
cualquier radio r de la circunferencia
k es perpendicular a la tangente del
punto T que dicho radio define en la
misma, por lo que concluimos que
ángulo OTP es necesariamente
recto.
Lo anterior implica que el triángulo
OTP es rectángulo. Recordando el
«corolario 2 del teorema segundo de
Tales» podemos deducir que
entonces el triángulo OTP es
inscribible en una circunferencia de
radio ½ de la hipotenusa OP del
mismo.
Entonces marcando el punto H como
punto medio de la hipotenusa OP y
haciendo centro en el mismo,
podemos dibujar una segunda
circunferencia auxiliar (gris en la
figura ) que será la que circunscribe
al triángulo OTP.
Esta última circunferencia trazada
se intersecará con la circunferencia
k en dos puntos T y T' , estos son
justamente los puntos de tangencia
de las dos rectas que son
simultáneamente tangentes a k y
además pasan por el punto P , ahora
ya conocidos los puntos T y T' solo
basta trazar las rectas TP y T'P
(rojas en la figura) para tener
resuelto el problema.