Question

Como encuentro las dimensiones de un rectángulo de 1000 m2 cuyo perímetro es lo mas pequeño posible

Answer 1

Respuesta:

La respuesta se encuentra derivando.

Explicación paso a paso:

Sea $f(x,y)=x+y$ la función que calcula el perímetro. Queremos minimizar esta función.

Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura. Entonces $xy=1000$. Despejando $y$ obtenemos $y=\frac{1000}{x}$. Sustituyendo el valor de $y$ en la función del perimetro obtenemos que

$f(x)=x+\frac{1000}{x}$.

Derivando esta expresión obtenemos que

$f'(x)=1-\frac{1000}{x^{2} }$

Los puntos críticos de la función $f$ son $x=0$ (donde la derivada no existe) y $x=\frac{1}{\sqrt{1000} }=\frac{1}{10\sqrt{10} }$ (donde la derivada es 0).

Claramente no podemos tomar $x=0$ como dimensión de un lado del rectángulo.

Asi $x=\frac{1}{10\sqrt{10} }$ es la medida de un lado del rectángulo. Sustituyendo este valor en la ecuación del área obtenemos que

$y=\frac{1000}{10\sqrt{10} }=\frac{100}{\sqrt{10} }$