¿como determinas las raíces de las ecuaciones cuadràticas mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Sencillo, te voy a mostrar un truquito y su demostración (el truco me lo enseñó mi profe, pero la demostración la hice yo)
Supongamos que tenemos una ecuación del tipo:
x² + bx + c = 0 (El coeficiente cuadrático es 1)
Queremos factorizarla para que nos queda algo así:
(x - n)(x - m) = 0, dónde n y m son las raíces. Entonces sabemos que si reemplazamos x por n o por m, la parte de la izquierda se nos hace 0 y la igualdad es cierta. Si no me crees, reemplacemos primero x por n:
(n - n)(n - m) = 0
0(n - m) = 0
0 = 0
Ahora reemplacemos x por m:
(m - n)(m - m) = 0
(m - n) 0 = 0
0 = 0
Pues perfecto, supongamos que a la ecuación la tenemos factorizada:
(x - n)(x - m) = 0
Entonces queremos averiguar n y m
Lo que hacemos es desarrollar ese producto con propiedad distributiva:
x (x - m) - n(x - m) = 0
x² - mx - nx + nm = 0
x² - (mx + nx) + nm = 0
x² - x (m+n) + mn = 0
x + [-(m+n)] x + mn = 0
Acabamos de obtener la forma polinómica, te puedes dar cuenta de que el primer término es el cuadrático, el segundo el lineal (porque x está elevado a la 1) y el tercero el independiente (no tiene a x). Pero pasa algo curioso con los coeficientes, y es que el segundo coeficiente es la suma de las raíces, pero cambiada de signo (el opuesta de m + n), y el tercero es el producto de las raíces (m × n). Así que si queremos hallar las raíces, debemos echarle un vistazo a esos coeficientes. En concreto, por lo anterior podemos afirmar rigurosamente que, si tenemos una ecuación del tipo:
x² + bx + c = 0
Debemos hallar un par de números (m y n) que, por un lado el opuesto de su suma ((m+n)×(-1)) de por resultado el coeficiente b, y que su producto (m×n) nos dé por resultado el coeficiente c.
Así, por ejemplo, si tenemos:
x² - 3x + 2 = 0
Las raíces serán m y n.
-(m + n) = -3 → m + n = 3
m × n = 2
Y que números suman 3, cuyo producto es 2? Fácil, 1 y 2. Las raíces son 1 y 2.
Porque -(1+2) = -3, y 1×2 = 2.
Es sin duda un truco muy útil para calcular raíces mentalmente