Question

Como demostrar que la recta x-2/6=3y+1/-6=1-z/3 y el plano 2x-3y+6z+3=0 son paralelos?

Answer 1

En toda recta del espacio euclideo el vector director de la recta es paralelo a la misma, y en todo plano en el espacio euclídeo, el vector asociado al plano es perpendicular al mismo.

Por ende, para que la recta sea paralela al plano el vector director a la recta y el vector asociado al plano tienen que ser perpendiculares.

En la ecuación del plano, el vector asociado es el que se forma con los coeficientes de cada variable, de modo que de 2x-3y+6z+3=0 el vector asociado es (2,-3,6).

En cuanto a la recta, nos dan la ecuación continua:

$\frac{x-2}{6}=\frac{3y-1}{-6}=\frac{1-z}{3}$

Expresión que hay que llevar a una de la forma:

$\frac{x-x_0}{x_v}=\frac{y-y_0}{y_v}=\frac{z-z_0}{z_v}$

Para lo cual en el segundo miembro dividimos por 3 denominador y numerador y en el tercer miembro multiplicamos numerador y denominador por -1:

$\frac{x-2}{6}=\frac{y-\frac{1}{3}}{-2}=\frac{z-1}{-3}$

El vector director lo forman los denominadores de la ecuación continua, de modo que este es (6,-2,3). Ahora hay que ver si son perpendiculares el vector director de la recta y el vector asociado al plano, el producto escalar tiene que dar 0:

$(2,-3,6).(6,-2,-3)=2.6+(-3)(-2)+6(-3)=12+6-18=0$

Con lo que quedó demostrado que la recta propuesta es paralela al plano propuesto.